圆周率pi比较著名的无穷级数公式有哪些？
…………
实际上，我们有：
其中：
为 Riemann Zeta 函数
为 Dirichlet Beta 函数
为伯努利数
为欧拉数
证明懒得写了，见：
Aries：黎曼ζ函数、狄利克雷β函数：ζ（2n）与β（2n+1）的另一种巧妙求法?zhuanlan.zhihu.com
自己推一个试试。常见的圆周率展开式给出的结果通常都是圆周率的正数幂，我们不妨试试别的：
众所周知，我们可以毫不费劲地算出
而由 可知，等式左侧等同于
根据广义二项式定理 ，可知：
事实上：
其中双阶乘的定义为
代入回原式，得：
又因为：
有：
由于本人水平有限，还希望知友们能够帮忙验证一下这个公式的准确性。若公式有误，欢迎在评论区指出！
方案一：由 (J.Grengory, 1671) 和 (Leibniz, 1673) 提出
利用级数展开式
开辟了以反正切函数计算 的新时代：
然而收敛速度非常慢，需 项才精确到
。
方案二：由 (Newton, 1676) 提出
利用级数展开式
得到了计算 的新方法：
大大加快了收敛速度，仅 项便可精确到
，取前
项可精确到
位有效数字。
方案三：由 (Fourier, 1822) 提出
利用Fouier级数
令 ，可得一种新的
的计算方法：
然而收敛速度比较慢，需 项才精确到
。
方案四：由 (Riemann, 1859) 提出
利用 函数的第一积分表示
令 ，又得到了一种新的计算
的方法：
收敛速度相对来说还是比较快的，仅需 项便可精确到
。
方案五：Ramanujan 表示，你们全是弟弟！
这货在1910年代凭「直觉」写出了这么一个公式：
取 项，
位有效数字：
取 项，
位有效数字：
这是魔法吧？？？
需要注意的是，该公式直到1987年才由Jonathan Borwein和Peter Borwein基于椭圆积分变换的理论给出证明。
BBP公式：
利用这个公式可以计算 小数点后任意一位。
可参考2020北京高考数学第十题
题很简单，思路不错
关于圆周率的级数近似逼近，我写了一篇文章，分享一下～
高等数学（十一）圆周率的级数逼近 - 知乎
Chenglin Li：高等数学（十一）圆周率的级数逼近
我之前写过一个这方面的回答，当然只是众多级数表示中的一小部分。
只用加减乘除取极限这五种运算如何表示圆周率派？据说所有无理数都可以这样获得？?www.zhihu.com
不是无穷级数，但是也能表示出圆周率：
我并不知道该怎么证明，求各位帮帮我。
抱歉，这式子其实不成立，不过左右两边的差很小。详见：
Reimu Hakurei：如何证明这个和圆周率相关的积分式??www.zhihu.com
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