两相邻素数的最大间距能够多大？
两个连续素数最大间隔能有多大？中学时我们就知道，这个间隔可以任意大。但是一个更有趣的问题是，小于某个数 的所有素数最大间隔是多少？这个问题就十分困难了。
假设 是第
个素数，我们记
，于是我们想知道
的大小。Erd?s在1938年悬赏10000美元，希望可以证明下述猜想：
其中不等式对任意常数 成立。这个猜想最终被Ford, Green, Konyagin, Tao以及Maynard各自独立的证明。后来这两组人开始一起合作，最终在2018年证明了如下结果，也是目前最好结果：
放一张他们证明这个结果之后的合照：（大佬云集）
那么素数的最大间隔应该是什么呢？也就是说， 应该是多大呢？Cramér做了一个很勇敢的猜想：
Cramér Conjecture:
他做出这个猜想的依据，是把素数当做随机数。他计算了一族和素数同样密度的随机数，然后算出了随机数的最大间隔的期望，于是做出了这个猜想。
这个就有意思了。困扰数学家这么久，谁都搞不懂的素数，居然是随机分布的？不过还真有可能。比如大家熟知的Green-Tao定理，陶哲轩的成名作，证明了素数包含任意长的等差数列，其中一个主要思想就是把素数当作伪随机数。
那什么是随机？
实际上随机并没有大家想的这么容易理解，理解随机性也是现代组合数学的核心问题之一。二十世纪末，凭借其对随机的理解，Szemerédi证明了Erd?s-Turán猜想，从而获得了阿贝尔奖。Szemerédi在其证明中用到的对随机的理解有点哲学：「万物皆随机「。具体的说，随便拿一个确定的、完全不随机的东西，我都可以把他分为几部分，使得每两部分之间看起来和随机的一样。确定的对象中都包含著随机。
放到2019年这个时间，回头看当时Szemerédi的理解就有点粗糙了。他的理论的主要缺陷是，只对稠密的对象起作用。如果你看过regularity lemma，你应该可以看到，Szemerédi当时认为，用 范数可以来描述随机性。
第一个对随机性提出不同理解的是菲尔兹奖得主Gowers。他提出了 范数，现在被称为Gowers范数。
范数的提出大概是Gowers对数学的最大贡献之一了。通过定义可以看出
范数就是
范数，不过可惜对于
比较大时就没有这么好的等价关系了。Gowers认为，随机性是被
范数更好的描述的。使用
范数，我们可以描述一些稀疏集的随机性了，虽然还不能太稀疏。目前对
范数的研究，也是组合数学中的一大热点。
不过这些也只是数学家的近似描述。至于什么是真正的随机和伪随机，人们还不知道。
间距可以任意大。构造n!,可知n!+2到n!+n中每一个都是合数。
素数的间距一直是数学中很难的问题。
假设 表示第
个素数，那么
第一个结论是张益唐在 2013 年证明的，表示素数之间的间距可以很」小「（Small Gaps）；第二个结论可以由素数定理直接推导而得，表示素数之间的间距可以很」大「（Big Gaps）。
素数定理指的是：假设 是不大于
的素数个数，则
考虑区间 （
充分大），如果该区间内的相邻素数的间隔都小于
，那么就有
。而通过素数定理可以得到当
充分大的时候，
，i.e.
。因此，上述不等式的左侧的量级是
，右侧的量级是
。矛盾。所以说，对于
充分大的时候，
内至少存在一对相邻素数使得它们的间隔大于
。而素数是有无穷多个的，因此，
。
素数间距可以任意大：对于任意大的n, 有n!+2,...,n!+n都是合数。
关于更精细的估计，见https://primes.utm.edu/notes/gaps.html。这个网站总结得不错。这个问题还远远没有解决，目前知道n以下素数的最大间距小于任何线性增长(由素数定理易得)但严格大于log n增长(Westzynthius 1931)。Cramer 1936 猜想增长应该是(log n)^2，并在假设黎曼猜想的情况下证明了弱化结论：增长不大于sqrt(p)log p
理论上是任意大小
// 10个连续素数（第一个约等于2^10）：
1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091
// 相邻的两两之间的差值是 2 6 10 2 10 2 6 18 4
// 10个连续素数（第一个约等于2^100）：
1267650600228229401496703205653
1267650600228229401496703205707
1267650600228229401496703205823
1267650600228229401496703205901
1267650600228229401496703205953
1267650600228229401496703206003
1267650600228229401496703206019
1267650600228229401496703206187
1267650600228229401496703206273
1267650600228229401496703206297
// 相邻的两两之间的差值是 54 116 78 52 50 16 168 86 24
// 10个连续素数（第一个约等于2^500）：
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589431
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589511
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589697
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589929
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589973
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527590451
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527590649
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527590993
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527591197
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527591287
// 相邻的两两之间的差值是 80 186 232 44 478 198 344 204 90
// 10个连续素数（第一个约等于2^1000）：
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668069673
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668073457
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668074719
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668075851
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668076169
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668078953
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668079597
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668080003
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668080213
10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361224931983788156958581275946729175531468251871452856923140435984577574698574803934567774824230985421074605062371141877954182153046474983581941267398767559165543946077062914571196477686542167660429831652624386837205668080249
// 相邻的两两之间的差值是 3784 1262 1132 318 2784 644 406 210 36
// 10个连续素数（第一个约等于2^2048）：
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596231637
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596232273
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596233719
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596233867
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596234799
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596238061
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596240499
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596241321
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596241381
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596241753
// 相邻的两两之间的差值是 636 1446 148 932 3262 2438 822 60 372
实际上在2^3000范围内间距感觉并不大，不会超过10000的样子
推荐阅读：
