设 数列 和 收敛于相同的极限并求该极限.

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真要说起来，这个问题的历史其实相当古老，可以追溯到2000多年前古希腊的阿基米德

我给出几种做法

为了方便起见，我把题目形式稍加变化一下，变成：

数列 、 ，满足 ， ， ， .

求数列 、 的通项公式.

（ ）

也就是相当于把你的原题进行倒代换，别的完全不影响

为什么这么变？因为这样方便揭示其几何意义

好了，先说这题解法：

方法（一）

注意到三角恒等式

，

令 ，

显然 ，

由于

由数学归纳法

（ ）

注意此处随著不同的初值 , ，三角换元的过程是可能出现复数的，不去管它.

实在不想看到复数，某些初值下可以改使用双曲换元.

这个方法是最直接快捷的，但是那两个三角恒等式不属于最常见的，应该不是每个人都能想到.

方法（二）

，

由此两式消去 , 可得

得

令

则有

，

令

由数学归纳法， （ ）

（ ）

其中

即

注意此处随著不同的初值 , ，三角换元的过程是可能出现复数的，不去管它.

否则的话，也可以采取这样的换元：

令

则数学归纳法， （ ）

它实际上和双曲余弦换元是等价的

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显然，数列

， （ ）

当 时是有著共同极限的，这个共同极限是

（对于你的原题的话，就是取

然后共同极限是 ）

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而如果这么取值：当 ， 时，这个共同极限便是

这就是当年阿基米德计算圆周率时采用的割圆术

其中

这恰好是圆的内接正边形的周长与圆直径的比值

而

这是圆的外切正边形的周长与圆直径的比值

此时显然有

构成了一个非常典型的闭区间套，并且所有区间端点都是代数数，最后却构造出了一个超越数

我们令 为圆的外切正 边形的边长与直径的比值（半边长与半径的比值）

令 为圆的内接正 边形的边长与直径的比值（半边长与半径的比值）

那么很显然

，

为了简单起见，不如令半径为1

图中

过点 作圆切线交 于点 ，交 于点

那么

（因为 且 ）

由几何关系

（相似三角形）

即

显然有

（勾股定理）

即

这就从几何意义上解释了这个数列

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来了来了，答主在线pvp

虽然高斯的Arithmetic-Geometric Mean很有名但是也不用强行改问题吧。

不妨设 . 我们设 ，由递推式，我们有

这是明显的二倍角公式。因此如果我们令 即 ，则有 . 此时带入 的递推式，我们有

因此连乘可以得到 . 令n趋于无穷大，众所周知， （证明利用 即可），因此

. 类似地， 的通项公式和极限也可以求出来，答案是相同的.

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这个数列有时被称为Schwab数列，因为J.Schwab在1813年研究过它。这个数列和高斯的算术几何平均数列有异曲同工之妙，构造简单，并可以速度极快地逼近一些超越函数。

为了方便，如题主所说，记 设 关于数列的收敛性，先说结论：

Schwab数列 满足 记 则 收敛速度是指数级的：

现在给出证明。首先易见

即 不等式

由归纳法可知，不等式 成立。

可见， 单调增有上界， 单调减有下界，所以它们都收敛。在递推式中令 知，它们的极限相等。也可以从上面的不等式(*)得到 由此也可见两个数列收敛于共同的值，而且是指数收敛的。

记这个共同的极限为 易见它有齐次性：

所以，不妨先考虑 的情形。应用等式 由归纳法容易知道

用 乘上式，整理得 所以

应用齐次性推出 其中 满足 证毕。

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注1 用同样的方法可以推出，如果 则 其中 满足

注2 取 则有 换言之， 这可以迅速地逼近圆周率。

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来源：菲赫金哥尔茨 著 微积分学教程(第一卷)(第8版)

注：题主所说的an+1实际上不等式只有加强，结果不变。

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我怎么总感觉你的题出错了呢

我总觉得Bn+1等于根号anbn

不会做，给你提供一个思路吧

如果按我说的那样更改题目，会十分完美

抱歉然后不会了

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这不是一个简单的问题，可以去了解高斯积分再尝试解答

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.

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