到底是用实数定义了复数，还是用复数定义了实数？
书中定义：
复数 z＝x＋yi，其中 x、y 为实数。
当 y＝0 时，z＝x＋0i＝x 为实数。
自己的问题为：
到底是用实数定义了复数，还是用复数定义了实数？
是否属于逻辑学中的循环论证?^
自动化专业渣渣求数学大佬指点。
通常的数学教材处理数系定义顺序有两种方法：
没有复数定义实数的。即使是第二种看起来也有点奇怪（
如果只用复数的代数运算，是不能定义出实数集R的。就是（C，+，×，0，1）系统中不能定义出R。
见David Mark，Model Theory:an introduction. （模型论引论），国外数学名著系列(影印版) 32，p23, corollary1.3.6
这里我们假设读者完全明白有理数是如何定义的。仅使用有理数甚至整数，可以定义代数数，注意到代数数已经涵盖了一部分无理数和虚数。但是采取这种办法，能把所有的实数或复数都构造出来吗？答案是否定的。
我不太喜欢现在强行把数学课分成各个不同课程的做法，特别是因为大学数学并非零门槛的现状。在分析课上，默认复数的运算是已经学过的，而在代数课上，不讨论实数集的具体构造。但是从有理数到复数的过程，实实在在是各种数学思想的融合。
从有理数到实数，必须经历分析的过程。设 是有理数集的子集，满足
并且
则由 确定了唯一的实数
使得
接下来，设 则由
确定了唯一的复数
这大概是定义复数的最简单的方法。也许你已经有所了解，代数基本定理，即任意复多项式都有复根，没有简单的代数证法，这也是因为复数本身就很难用代数定义。
首先，先反对一下 @雨雪晴 的答案。
不是说这个结论本身有错。而是，这个结论论证不了复数域「定义」不了实数。这里有一处很微妙的地方。简单来说，定义出来的实数不一定得是复数域的子集。可采取这样的途径： 。但这个
已经不是
的子集了，不会引起矛盾。（你也没办法直接对应回
的某个子集，虽然你可以用选择公理强行挑一个出来。「强行挑一个出来」当然超出了域理论的范围，也是和结论不矛盾的。）又或者说，「定义 xx 的可定义子集 yy」和「可以基于 xx （公理化地）构造 yy」是两码事。
接下来是对 @inversioner 答案的补充。如果我们希望有个「完整版」的复数 ，那么我们至少要包含连续（或小于
）的概念（或让
）。但是这样一来就至少隐隐约约地定义了一个
。对于这种情况，我们恐怕只能说是：定义复数的同时顺便定义了实数。反过来，实数定义里就不必隐藏著一个复数的定义。从这个意义上讲，更多的是实数定义了复数。
最后附上系统 C3（基于 Tarski 实数公理化，由 Norman Megill 正式提出，Eric Schmidt 参与了改进）
5.1.3 Real and complex number postulates restated as axioms?us.metamath.org他们真的丧心病狂地绕了一整圈儿！（ ）
此实数非彼实数，先用实数I定义了复数，再用复数定义了实数II。
先有实数集I ，然后在
中定义复数四则运算，就有了复数集
.
- 复数是满足复数四则运算的实数有序对
，记作
。
- 复数的加减法：
- 复数的乘法：
- 复数的除法：
然后可以搞一个映射 ，
，于是有了实数集II
，它与
同构。
所以当我们说 时，其实前面那些数集都是由
定义的，都是从另一个不是
子集的数集到
的同构映射的值域。
当y＝0时，z＝x＋0i为实数
很明显的，这句话的意思是，存在C的子域与R同构
并不是循环论证的意思
实数定义了复数。实数自己，是从有理数定义出来的。之所以说虚部为零时相当于实数，是说可以把实数作为复数的子集，从而包含到更广范围的复数域中，那么你之前用的实数就都可以当成复数。复数域是实数域的扩域。
我想对这个问题换一种提法。已知一个域F同构于C，如何知道它的同构于R的子域的构造？即它由F中哪些元素构成？
从历史和实践的角度讲，实数定义了复数
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