连续统是什么意思？如何理解连续统与实数的关系？
如题。
连续统是实数集的抽象。连续统描述了像实数一样的稠密，完备（无洞）的性质。
实数集只是一个连续统的例子。当然，实数集也可以说是原型，因为连续统是从实数集推广出去的。
在某些场合，连续统也可能被用来代指实数集。（可能为了强调其完备性吧）
注意不要跟「连续统的势（基数）」混淆。（即直观地看，所谓集合的大小，或者个数）
而且具有连续统基数的集合，未必是连续统。比如无理数与实数等势，具有连续统基数，但是无理数集可不具有像实数那样的完备性。
题外：连续统假设
可列集的势为 。（自然数的个数，整数的个数，平面格点的个数……）
连续统的势为 ，而且
。（想像任何一个实数可以用无限二进位表示嘛。当然，严格的话，实数的二进位表示不唯一，
。于是还得构造康托三分集，证明
。然后由康托尔－伯恩斯坦－施罗德定理，得到等势）
康托对角论证可知， 。（实数是不可数的）
但 是不是大于
的最小的基数呢？即它们之间不存在其它基数？
这个问题的答案未知。连续统假设即 （
后的第一个基数）。
从ZFC公理出发，它不可证明，亦不可证伪。
连续统是一种集合 。
(1) 是全序集。在
上定义了全序关系（也称线性序、简单序等）
，即
- （反对称性）
- （传递性）
- （完全性）
定义了 ，其余的
可以导出。
（2）稠密性。 的任何两个元素
之间，必存在其它元素
。即
比如有理数 就满足稠密性，因为任何两个数，其中间有个平均数。
（3）完备性（直观地讲，无洞）。（最小上界公理，或上确界原理）任何一个 的非空子集
，若有上界，则必有上确界。即
这个原理是硬性地规定了上确界不能掉进洞里，即上确界一定存在。（公理，不需要没有理由）
此外，最小上界公理有很多等价的论述。比如单调有界原理，也是不让极限掉进洞里。
连续统就是实数集的个数
首先要明白"势"的概念，一个集合的势，或者说集合的基数，是用来表示集合的"大小"，当一个集合与实数区间[0,1]等势时，称这个集合为连续统。一般的，如果集合是有限的或可数的，称其为零势，例如有理数集合虽然是无限的，但有理数是可数的，所以有理数集合的势为零。所以实数才能称为连续统，整数有理数都不能。
实数是现实宇宙的物质的无穷小成分的算术整数解。连续统即连续统一，必须用物质的几何学图形来说明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/70727574
连续统是指实数集中元素的个数，一般用c表示
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