如果不用复数，数学和物理问题要复杂多少？

学电学和量子力学一直把复指数函数理解成「三角函数」。所以始终不理解为什么要扩充数域。
如果不用复数，完全用实数，波用三角函数描述，也没感觉会变复杂。
那么到底为什么一定要定义复数呢？如果不用，那么哪些问题会变复杂很多呢？
注：纯数学概念的定义，不影响物理问题演绎的结果。希望回答的人能理解这一点。
从完备性的角度讲，皮亚诺公理体系的强度足以作为物理系统的数学工具。

PS：
请请明白」自然科学「和」形式科学「区别的回答者回答。
简单的说，选择什么数学定义，并不影响使用数学计算物理体系得到的结果。

不会复杂多少，因为任何一个复数都和一个实矩阵等价

至于对物理的影响，请问量子力学里用不用矩阵？泡利矩阵、狄拉克矩阵是什么玩意儿？

但是，如果有可能，我还是希望加一个i而不是矩阵，毕竟少些很多字不是。

公理集合论就是整个数学的基础，在此之上可以定义整数，整数定义分数，分数通过戴德金分割或其他等价方式定义实数，实数扩充到复数。如果从还原论的角度说，只需要集合论，甚至连整数的概念都可以不需要。这就说明人们扩充数系不会是因为本质性的原因，而仅仅是因为方便。每扩充一次数系就会有全新的结论，而这些结论能使我们更简洁地组织、表达我们的思想。
物理上用到复数，也是和复数、复变函数的优秀性质有关，例如全纯函数的解析性、代数基本定理等。如果不用复数，这些概念往往表达起来非常繁琐。例如：

2.1 在2维物理中往往用复数表达坐标，这样可以利用全纯函数的各种性质，更容易表达体系的对称性。典型的如共形场论中的共形变换。

2.2 很多对称性的不可约表示必须用到复数，而如果使用实数的话就只能得到（复数域下的）可约表示。这当然和代数基本定理有关。例如SO(2)群的复数表示是1维的，但实数表示至少是2维的。显然一个数要比一个矩阵简洁得多。在更复杂的群中复数的作用就更明显，例如相对论中的洛伦兹变换SO(3,1)。它的旋量表示就必须用到复数。

2.3 很多时候即使研究的是实变函数的性质，也常常扩充到复数域去研究，因为复变函数可以做解析延拓。例如散射振幅关于粒子能量的函数，常常将能量延拓到复数，通过极点和留数反推散射振幅。在研究量子场论的实时间演化时，常常将时间延拓到复平面，因为实时的关联函数并不是函数（而是所谓tempered distribution），而虚时上的关联函数往往是真正的函数。

杨振宁先生写过一篇文章讲述复数的意义

Square root of minus one, complex phases and Erwin Schr?dinger. CHEN NING YANG

http://www.god-does-not-play-dice.net/Yang.pdf

狄拉克也说过:「问题在于，不对易性是否真是量子力学新概念的主体?我过去一直认为答案是肯定的，但最近我开始怀疑这一点。我想，从物理观点来说，不对易性可能并非唯一重要的观念，或许还存在某些更深层的观念，而某些通常的概念在量子力学中或许还需要做一些更深刻的改变。所以，如果有人问，量子力学的主要特征是什么?现在我倾向于说，量子力学的主要特征并不是不对易代数，而是机率幅的存在。机率幅是全部原子过程的基础。机率幅是与实验相联系的，但这只是问题的一部分。机率幅的模平方是我们能观测的某种量，即实验者所测量到的机率，但除此之外还有相位。这个相位是极其重要的，因为它是所有干涉现象的根源，而其物理含意是极其隐晦难解的。相位这个物理量很巧妙地隐藏在大自然中。正是由于它隐藏地如此巧妙，人们才未能更早建立起量子力学。」

复结构没那么简单

https://www.zhihu.com/question/21188040/answer/131174426

不用复数有些题几乎无解，做一下这题。

图中所有相互接触的圆都是相切，中间的横线经过与它相交的三个圆的圆心和三个切点，证明所有蓝色的点共圆。

数的本质是关系，对应事物之间的关系及关系之间的关系。

复数的本质是事物中存在的一类特殊的二元全态关系（a,b）：

对于（a1,b1），（a2,b2），（a3,b3）满足以下二元乘法关系。所以复数的本质亦是实数乘法的特殊二元扩展。

同样的，四元数的本质是一类特殊的四元全态关系(a,b,c,d)。

矩阵的本质是定义了矩阵二维乘法的二维数组（自然地，你也可以定义不同的矩阵乘法得到不同的二维阵，只是目前的矩阵乘法的定义表现良好因此被普遍认同）。

复数和矩阵都可以看成是实数乘法关系的多维扩展。复数和矩阵结合能表示更多复杂的代数结构。比如八元数结构用实矩阵是表示不出来的。

复数从形式上是一种简洁的表示方式（相对实数对，或二阶实矩阵/复结构），简洁意味著更能一目了然地揭示更本质上的关系。

举个例子：复数与2×2矩阵结合表示的二阶复矩阵M

在物理还是工程都是有广泛的应用，它有什么神奇之处呢？？

首先它是2×2×2实立方阵（同样可以有定义良好的立方阵线性乘法）的二维化表示/展开。由于我们的纸张是二维的，且关于矩阵的理论研究更透彻，所以复数与2×2矩阵结合表示的二阶复矩阵M表示自然要比2×2×2实立方阵更直观简洁，做计算也更方便。它也可以写成彭罗斯扭量

其次它的8个基如下

后面三个基便为泡利矩阵，然后呢？

事实上令分别对应以上的基元可以得到：

它和以下的1+3实维的八元超复数

同构！

二阶复矩阵M可以表示成1+3实维的八元超复数W4的形式，原本很多意义不明的东西便变得清晰起来，比如它正好对应1个时间维度+3个空间维度+四-速度。三个虚单元构成三维欧式空间，并与时间维元一起构成完备的3+1维时空（狭义相对论的3+1维闵氏时空并非完备）,相元（泡利矩阵）构成的三维相空间即可刻画宏观的速度也对应微观的量子力学的相位。