圓周率pi比較著名的無窮級數公式有哪些?
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實際上,我們有:
其中:
為 Riemann Zeta 函數
為 Dirichlet Beta 函數 為伯努利數 為歐拉數
證明懶得寫了,見:
Aries:黎曼ζ函數、狄利克雷β函數:ζ(2n)與β(2n+1)的另一種巧妙求法?zhuanlan.zhihu.com自己推一個試試。常見的圓周率展開式給出的結果通常都是圓周率的正數冪,我們不妨試試別的:
眾所周知,我們可以毫不費勁地算出
而由 可知,等式左側等同於
根據廣義二項式定理 ,可知:
事實上:
其中雙階乘的定義為
代入回原式,得:
又因為:
有:
由於本人水平有限,還希望知友們能夠幫忙驗證一下這個公式的準確性。若公式有誤,歡迎在評論區指出!
方案一:由 (J.Grengory, 1671) 和 (Leibniz, 1673) 提出
利用級數展開式
開闢了以反正切函數計算 的新時代:
然而收斂速度非常慢,需 項才精確到 。
方案二:由 (Newton, 1676) 提出
利用級數展開式
得到了計算 的新方法:
大大加快了收斂速度,僅 項便可精確到 ,取前 項可精確到 位有效數字。
方案三:由 (Fourier, 1822) 提出
利用Fouier級數
令 ,可得一種新的 的計算方法:
然而收斂速度比較慢,需 項才精確到 。
方案四:由 (Riemann, 1859) 提出
利用 函數的第一積分表示
令 ,又得到了一種新的計算 的方法:
收斂速度相對來說還是比較快的,僅需 項便可精確到 。
方案五:Ramanujan 表示,你們全是弟弟!
這貨在1910年代憑「直覺」寫出了這麼一個公式:
取 項, 位有效數字:
取 項, 位有效數字:
這是魔法吧???
需要注意的是,該公式直到1987年才由Jonathan Borwein和Peter Borwein基於橢圓積分變換的理論給出證明。
BBP公式:
利用這個公式可以計算 小數點後任意一位。
可參考2020北京高考數學第十題
題很簡單,思路不錯
關於圓周率的級數近似逼近,我寫了一篇文章,分享一下~
高等數學(十一)圓周率的級數逼近 - 知乎
Chenglin Li:高等數學(十一)圓周率的級數逼近
我之前寫過一個這方面的回答,當然只是眾多級數表示中的一小部分。
只用加減乘除取極限這五種運算如何表示圓周率派?據說所有無理數都可以這樣獲得??www.zhihu.com不是無窮級數,但是也能表示出圓周率:
我並不知道該怎麼證明,求各位幫幫我。
抱歉,這式子其實不成立,不過左右兩邊的差很小。詳見:
Reimu Hakurei:如何證明這個和圓周率相關的積分式??www.zhihu.com推薦閱讀: