1/7=1/a+1/b+1/c，其中a,b,c均为不相等自然数，a,b,c有多少组解？
1/7=1/a+1/b+1/c，其中a,b,c均为不相等自然数，a,b,c有多少组解？用枚举举了一些不知道是不是有无数组解。
肯定不是无数组解.
若1/7=1/a+1/b+1/c（*）有无数组解，必然对于任意M属于N，使得max｛a，b，c｝&>=M，否则至多有M^3组解.
我们考虑构成*的数列｛an｝，｛bn｝，｛cn｝（其中1/7=1/an+1/bn+1/cn），由抽屉原理必然存在an，bn，cn中的一列使得这一列数无界，不妨设为｛an｝.
由1/an=1/7-1/bn-1/cn，故an由bn，cn唯一确定，当bn，cn均有界M时总解数必然＜M^2.
当bn，cn中只有一个有界时，不妨为bn，设bn的界为M，1/an=bncn-7（bn+cn）/7bncn（i），对于bn=8，…，M，令cn趋于+∞，有（i）式RHS趋于b-7/7b，这与｛an｝无界矛盾.
当bn，cn均无界时，（i）式RHS趋于1/7，这亦与｛an｝无界矛盾.
综上，该式至多只有有限组解.
附代码
由轮换，不妨 0&
Solve[{1/7 == 1/a + 1/b + 1/c, 0 &< a &< b &< c}, Integers]
% // Length
根据 @法国球 在 @Taiat 回答下的评论写了程序穷举了所有可能的 a b c。Racket 自带有理数类型，所以就用它了。
#lang racket
(define (1/ n) (/ 1 n))
(define answers
(for*/list ([a (in-range 8 113)]
[b (in-range a 113)]
[1/c (in-value (- 1/7 (1/ a) (1/ b)))]
#:when (= (numerator 1/c) 1))
(list a b (1/ 1/c))))
answers 输出为
((8 57 3192)
(8 58 1624)
(8 60 840)
(8 63 504)
(8 64 448)
(8 70 280)
(8 72 252)
(8 84 168)
(8 88 154)
(8 105 120)
(8 112 112)
(9 32 2016)
(9 33 693)
(9 35 315)
(9 36 252)
(9 42 126)
(9 45 105)
(9 56 72)
(9 63 63)
(9 72 56)
(9 105 45)
(10 24 840)
(10 25 350)
(10 28 140)
(10 30 105)
(10 35 70)
(10 40 56)
(10 56 40)
(10 70 35)
(10 105 30)
(11 21 231)
(11 22 154)
(12 17 1428)
(12 18 252)
(12 20 105)
(12 21 84)
(12 24 56)
(12 28 42)
(12 42 28)
(12 56 24)
(12 84 21)
(12 105 20)
(14 15 210)
(14 16 112)
(14 18 63)
(14 21 42)
(14 28 28)
(14 42 21)
(14 63 18)
(14 112 16)
(15 15 105)
(15 21 35)
(15 35 21)
(15 105 15)
(16 16 56)
(16 56 16)
(16 112 14)
(18 63 14)
(20 105 12)
(21 21 21)
(21 35 15)
(21 42 14)
(21 84 12)
(24 56 12)
(28 28 14)
(28 42 12)
(30 105 10)
(35 70 10)
(40 56 10)
(45 105 9)
(56 72 9)
(63 63 9)
(112 112 8))
===
第一次答忘了去重了……
去重后： 刚好 42 个。 === 刚刚看到题目里要求「a、b、c互不相同」，再过滤一遍吧： 结果： 刚好 36 个。(define answers-unique
(remove-duplicates answers #:key (λ (ns) (sort ns &
((8 57 3192)
(8 58 1624)
(8 60 840)
(8 63 504)
(8 64 448)
(8 70 280)
(8 72 252)
(8 84 168)
(8 88 154)
(8 105 120)
(8 112 112)
(9 32 2016)
(9 33 693)
(9 35 315)
(9 36 252)
(9 42 126)
(9 45 105)
(9 56 72)
(9 63 63)
(10 24 840)
(10 25 350)
(10 28 140)
(10 30 105)
(10 35 70)
(10 40 56)
(11 21 231)
(11 22 154)
(12 17 1428)
(12 18 252)
(12 20 105)
(12 21 84)
(12 24 56)
(12 28 42)
(14 15 210)
(14 16 112)
(14 18 63)
(14 21 42)
(14 28 28)
(15 15 105)
(15 21 35)
(16 16 56)
(21 21 21))(define answer-unique-unique
(filter-not check-duplicates answers-unique))((8 57 3192)
(8 58 1624)
(8 60 840)
(8 63 504)
(8 64 448)
(8 70 280)
(8 72 252)
(8 84 168)
(8 88 154)
(8 105 120)
(9 32 2016)
(9 33 693)
(9 35 315)
(9 36 252)
(9 42 126)
(9 45 105)
(9 56 72)
(10 24 840)
(10 25 350)
(10 28 140)
(10 30 105)
(10 35 70)
(10 40 56)
(11 21 231)
(11 22 154)
(12 17 1428)
(12 18 252)
(12 20 105)
(12 21 84)
(12 24 56)
(12 28 42)
(14 15 210)
(14 16 112)
(14 18 63)
(14 21 42)
(15 21 35))
这题我见过。参见GTM148第77页，朗道于1903年证明。不相等这个条件其实可以去掉。而且哪怕n个未知数也是有限组解。
数学归纳法：
显然有有限组解
假设对
均有有限组解
在这个假设基础上考察
不妨设
则
所以 只有有限种选择，
对 的每一种不同的选择解方程：
把方程左边代入 的不同取值，来解右边的n-1个未知数，由假设k &< n时均有有限组解，可知方程右边有有限组解。
所以把每个 对应的若干组解加起来，总的解也是有限组。所以k=n时成立。
得证
n个未知数都成立，题主那a,b,c三个未知数也必然有有限组解。
可以简单理解一下，还是假设a&<=b&<=c，按上面证明里的步骤可以简单得到a的范围有限，把a移项到左边，b也可以同理得到范围有限，用相同的方法c也有限。a,b,c范围都有限，那当然有有限组解了。
显然是有限的。
设a＞b＞c，
1/c＜1/7，c＞7；
3/c＞1/7，c＜21；
3/a＜1/7，a＞21。
c∈(7，21)，c的取值是有限的。
且b＞c，故对每一个c，b有最小值，则a相应有最大值。故解的组是有限的。
不管枚举还是编程，可以根据c，求出b的范围:
1/b＜1/7-1/c，b＞7c/(c-7)；
2/b＞1/7-1/c，b＜14c/(c-7)；
b∈(7c/(c-7)，14c/(c-7))。
(另外，注意abc=7(ab+bc+ac)，则a、b、c至少一个是7的整数倍，则无7正倍数的组合必然不满足题设。)
c=8时，b∈(56，112)；共有55组需要验证。有10组解
(8，57，3192)
(8，58，1624)
(8，60，840)
(8，63，504)
(8，64，448)
(8，70，280)
(8，72，252)
(8，84，168)
(8，88，154)
(8，105，120)
c=9时，b∈(31，63)；共有31组需要验证。有7组解
(9，32，2016)
(9，33，693)
(9，35，315)
(9，36，252)
(9，42，126)
(9，45，105)
(9，56，72)
c=10时，b∈(23，47)；有23组需要验证。有6组解
(10，24，840)
(10，25，350)
(10，28，140)
(10，30，105)
(10，35，70)
(10，40，56)
c=11时，b∈(19，39)；有19组需要验证。有2组解
(11，21，231)
(11，22，154)
c=12时，b∈(16，34)；有17组需要验证。有6组解
(12，17，1428)
(12，18，252)
(12，20，105)
(12，21，84)
(12，24，56)
(12，28，42)
c=13时，b∈(15，31)；有15组需要验证。无解
c=14时，b∈(14，28)；有13组需要验证。有4组解
(14，15，218)
(14，16，112)
(14，18，63)
(14，21，42)
c=15时，b∈(15，27)；有11组需要验证。有1组解:
(15，21，35)
c=16时，b∈(16，25)；有8组需要验证。无解
c=17时，b∈(17，24)；有6组需要验证。无解
c=18时，b∈(18，23)；有4组需要验证。无解
c=19时，b∈(19，23)；有3组需要验证，无解
c=20时，b∈(20，22)；有1组需要验证，无解。
共10+7+6+2+6+4+1=36组解。
假设无穷多。不妨设a的值无限多，当1/a不断变小的时候，1/b+1/c的值是必须增加的。但是b.c的下届是存在的。故矛盾，所以不可能无穷多
当a、b、c→∝时，1/a、1/b、1/c→0，因此a、b、c不能同时趋向无穷大，因a、b、c均为自然数，最小取值为8，1/7-1/8=1/56，即剩余2个之合应等于1/56，最小值取57，最后一个数值1/（56x57），即最大数不能超过56x57。因此a、b、c必须在8~3192之间。极限值为8、57、3192。
易知abc均需为7的倍数，设a=7x，b=7y，c=7z
有1/x+1/y+1/z=1
则1/x、1/y和1/z中必须有一个大于1/3。由于xyz可互换，不妨x=2。
1/y+1/z=1/2，那么必须有一个大于1/4。不妨y=3。
则z=6。
无其他解。
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