1/7=1/a+1/b+1/c，其中a,b,c均為不相等自然數，a,b,c有多少組解？
1/7=1/a+1/b+1/c，其中a,b,c均為不相等自然數，a,b,c有多少組解？用枚舉舉了一些不知道是不是有無數組解。
肯定不是無數組解.
若1/7=1/a+1/b+1/c（*）有無數組解，必然對於任意M屬於N，使得max｛a，b，c｝&>=M，否則至多有M^3組解.
我們考慮構成*的數列｛an｝，｛bn｝，｛cn｝（其中1/7=1/an+1/bn+1/cn），由抽屜原理必然存在an，bn，cn中的一列使得這一列數無界，不妨設為｛an｝.
由1/an=1/7-1/bn-1/cn，故an由bn，cn唯一確定，當bn，cn均有界M時總解數必然＜M^2.
當bn，cn中只有一個有界時，不妨為bn，設bn的界為M，1/an=bncn-7（bn+cn）/7bncn（i），對於bn=8，…，M，令cn趨於+∞，有（i）式RHS趨於b-7/7b，這與｛an｝無界矛盾.
當bn，cn均無界時，（i）式RHS趨於1/7，這亦與｛an｝無界矛盾.
綜上，該式至多隻有有限組解.
附代碼
由輪換，不妨 0&
Solve[{1/7 == 1/a + 1/b + 1/c, 0 &< a &< b &< c}, Integers]
% // Length
根據 @法國球 在 @Taiat 回答下的評論寫了程序窮舉了所有可能的 a b c。Racket 自帶有理數類型，所以就用它了。
#lang racket
(define (1/ n) (/ 1 n))
(define answers
(for*/list ([a (in-range 8 113)]
[b (in-range a 113)]
[1/c (in-value (- 1/7 (1/ a) (1/ b)))]
#:when (= (numerator 1/c) 1))
(list a b (1/ 1/c))))
answers 輸出為
((8 57 3192)
(8 58 1624)
(8 60 840)
(8 63 504)
(8 64 448)
(8 70 280)
(8 72 252)
(8 84 168)
(8 88 154)
(8 105 120)
(8 112 112)
(9 32 2016)
(9 33 693)
(9 35 315)
(9 36 252)
(9 42 126)
(9 45 105)
(9 56 72)
(9 63 63)
(9 72 56)
(9 105 45)
(10 24 840)
(10 25 350)
(10 28 140)
(10 30 105)
(10 35 70)
(10 40 56)
(10 56 40)
(10 70 35)
(10 105 30)
(11 21 231)
(11 22 154)
(12 17 1428)
(12 18 252)
(12 20 105)
(12 21 84)
(12 24 56)
(12 28 42)
(12 42 28)
(12 56 24)
(12 84 21)
(12 105 20)
(14 15 210)
(14 16 112)
(14 18 63)
(14 21 42)
(14 28 28)
(14 42 21)
(14 63 18)
(14 112 16)
(15 15 105)
(15 21 35)
(15 35 21)
(15 105 15)
(16 16 56)
(16 56 16)
(16 112 14)
(18 63 14)
(20 105 12)
(21 21 21)
(21 35 15)
(21 42 14)
(21 84 12)
(24 56 12)
(28 28 14)
(28 42 12)
(30 105 10)
(35 70 10)
(40 56 10)
(45 105 9)
(56 72 9)
(63 63 9)
(112 112 8))
===
第一次答忘了去重了……
去重後： 剛好 42 個。 === 剛剛看到題目裏要求「a、b、c互不相同」，再過濾一遍吧： 結果： 剛好 36 個。(define answers-unique
(remove-duplicates answers #:key (λ (ns) (sort ns &
((8 57 3192)
(8 58 1624)
(8 60 840)
(8 63 504)
(8 64 448)
(8 70 280)
(8 72 252)
(8 84 168)
(8 88 154)
(8 105 120)
(8 112 112)
(9 32 2016)
(9 33 693)
(9 35 315)
(9 36 252)
(9 42 126)
(9 45 105)
(9 56 72)
(9 63 63)
(10 24 840)
(10 25 350)
(10 28 140)
(10 30 105)
(10 35 70)
(10 40 56)
(11 21 231)
(11 22 154)
(12 17 1428)
(12 18 252)
(12 20 105)
(12 21 84)
(12 24 56)
(12 28 42)
(14 15 210)
(14 16 112)
(14 18 63)
(14 21 42)
(14 28 28)
(15 15 105)
(15 21 35)
(16 16 56)
(21 21 21))(define answer-unique-unique
(filter-not check-duplicates answers-unique))((8 57 3192)
(8 58 1624)
(8 60 840)
(8 63 504)
(8 64 448)
(8 70 280)
(8 72 252)
(8 84 168)
(8 88 154)
(8 105 120)
(9 32 2016)
(9 33 693)
(9 35 315)
(9 36 252)
(9 42 126)
(9 45 105)
(9 56 72)
(10 24 840)
(10 25 350)
(10 28 140)
(10 30 105)
(10 35 70)
(10 40 56)
(11 21 231)
(11 22 154)
(12 17 1428)
(12 18 252)
(12 20 105)
(12 21 84)
(12 24 56)
(12 28 42)
(14 15 210)
(14 16 112)
(14 18 63)
(14 21 42)
(15 21 35))
這題我見過。參見GTM148第77頁，朗道於1903年證明。不相等這個條件其實可以去掉。而且哪怕n個未知數也是有限組解。
數學歸納法：
顯然有有限組解
假設對
均有有限組解
在這個假設基礎上考察
不妨設
則
所以 只有有限種選擇，
對 的每一種不同的選擇解方程：
把方程左邊代入 的不同取值，來解右邊的n-1個未知數，由假設k &< n時均有有限組解，可知方程右邊有有限組解。
所以把每個 對應的若干組解加起來，總的解也是有限組。所以k=n時成立。
得證
n個未知數都成立，題主那a,b,c三個未知數也必然有有限組解。
可以簡單理解一下，還是假設a&<=b&<=c，按上面證明裡的步驟可以簡單得到a的範圍有限，把a移項到左邊，b也可以同理得到範圍有限，用相同的方法c也有限。a,b,c範圍都有限，那當然有有限組解了。
顯然是有限的。
設a＞b＞c，
1/c＜1/7，c＞7；
3/c＞1/7，c＜21；
3/a＜1/7，a＞21。
c∈(7，21)，c的取值是有限的。
且b＞c，故對每一個c，b有最小值，則a相應有最大值。故解的組是有限的。
不管枚舉還是編程，可以根據c，求出b的範圍:
1/b＜1/7-1/c，b＞7c/(c-7)；
2/b＞1/7-1/c，b＜14c/(c-7)；
b∈(7c/(c-7)，14c/(c-7))。
(另外，注意abc=7(ab+bc+ac)，則a、b、c至少一個是7的整數倍，則無7正倍數的組合必然不滿足題設。)
c=8時，b∈(56，112)；共有55組需要驗證。有10組解
(8，57，3192)
(8，58，1624)
(8，60，840)
(8，63，504)
(8，64，448)
(8，70，280)
(8，72，252)
(8，84，168)
(8，88，154)
(8，105，120)
c=9時，b∈(31，63)；共有31組需要驗證。有7組解
(9，32，2016)
(9，33，693)
(9，35，315)
(9，36，252)
(9，42，126)
(9，45，105)
(9，56，72)
c=10時，b∈(23，47)；有23組需要驗證。有6組解
(10，24，840)
(10，25，350)
(10，28，140)
(10，30，105)
(10，35，70)
(10，40，56)
c=11時，b∈(19，39)；有19組需要驗證。有2組解
(11，21，231)
(11，22，154)
c=12時，b∈(16，34)；有17組需要驗證。有6組解
(12，17，1428)
(12，18，252)
(12，20，105)
(12，21，84)
(12，24，56)
(12，28，42)
c=13時，b∈(15，31)；有15組需要驗證。無解
c=14時，b∈(14，28)；有13組需要驗證。有4組解
(14，15，218)
(14，16，112)
(14，18，63)
(14，21，42)
c=15時，b∈(15，27)；有11組需要驗證。有1組解:
(15，21，35)
c=16時，b∈(16，25)；有8組需要驗證。無解
c=17時，b∈(17，24)；有6組需要驗證。無解
c=18時，b∈(18，23)；有4組需要驗證。無解
c=19時，b∈(19，23)；有3組需要驗證，無解
c=20時，b∈(20，22)；有1組需要驗證，無解。
共10+7+6+2+6+4+1=36組解。
假設無窮多。不妨設a的值無限多，當1/a不斷變小的時候，1/b+1/c的值是必須增加的。但是b.c的下屆是存在的。故矛盾，所以不可能無窮多
當a、b、c→∝時，1/a、1/b、1/c→0，因此a、b、c不能同時趨向無窮大，因a、b、c均為自然數，最小取值為8，1/7-1/8=1/56，即剩餘2個之合應等於1/56，最小值取57，最後一個數值1/（56x57），即最大數不能超過56x57。因此a、b、c必須在8~3192之間。極限值為8、57、3192。
易知abc均需為7的倍數，設a=7x，b=7y，c=7z
有1/x+1/y+1/z=1
則1/x、1/y和1/z中必須有一個大於1/3。由於xyz可互換，不妨x=2。
1/y+1/z=1/2，那麼必須有一個大於1/4。不妨y=3。
則z=6。
無其他解。
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