下面是我的论证过程，请问各位大神，哪里错了。。。（根号下的加号应该是减号的。）

小学生都能算出来圆锥侧面积是 ，为什么我用大学学的微积分算不出来，是不是哪里出了问题？

来看一下积分的时候干了什么

这里dh和母线夹角是45°，很熟悉，这不就是 吗？原式改一下：

到这里我们就发现问题所在了，空间中的球面是弯曲的，他并不能等效于平面中的求面积，题主在求每一份圆柱面的都是垂直与底面的，但是显然每一份圆柱面都应该对应一个角度。对，每一个弧面都有一个切面(梯度)，对应到平面大概是曲线的导数。

因此题主在三维中用窄圆柱面的求法忽略掉了面的弯曲，相当于在二维平面中求圆周长时忽略掉了线的弯曲，如下：

此时圆周长s=4，因为s=2π

所以，我宣布π=2势力正式出现。

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这个问题我已经回答过了。

如下

https://www.zhihu.com/answer/1025381835

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首先，从头开始就错了，球的表面积并不等于划分后的圆柱侧面积的和，如果在球坐标系中，对应于 的圆环的面积为 ，而对应于 的圆柱的侧面积为

另外你写的过程有不少笔误，就不一一指出了

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其实也不用计算，按照你的思路，球表面可以分割为无数个半径不同的圆周，圆柱体侧面可以分割为无数个半径相同的圆周，但是通俗的来讲，球表面分割的圆周个数是比圆柱体分割的圆周数量要多。类似于直角三角形斜边大于直边一样，图我就不画了。

当然，这只是一个直观的解释，是非常不严谨的，不过严谨的计算估计你也看不懂，毕竟积分你也不太会，这里就不写了

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微分后确实常用直线段来近似曲线段，但直线段的方向不是随便选的，往往是用与曲线段相切的直线段，这样才能确保两者相差仅有一个高阶小量。

比如问题中的球面，可以看成半圆上的每一个曲线段旋转360度相加得到，但要用与之相切的直线段近似时，会发现这些直线段的方向不是固定不变的，而是跟坐标有关。

题主出错的地方就在于近似所用的直线段方向没搞对。

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不是等价的，因为你取的微元极限不是1。那段微元弧长和他在坐标轴上的投影微元极限比不是1啊，但是和他的弦长极限才是1，所以你要用弦长圆柱面的表面积才对。

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再往后学学重积分，要用三重积分的

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