对于涉及自然数的命题 [公式] ，已知：

1、当 [公式] 时，命题成立；

2、由 [公式] 成立可以推出 [公式] 成立。

则命题 [公式] 是否对所有自然数都成立？

这种「反向归纳法」是不合法的。下面举一个简单的反例：

设 [公式] 的断言是： [公式] 是无理数。 很显然，当 [公式] 时， [公式] 成立；假若 [公式] 时，命题成立，则 [公式] 时，因 [公式] ，这是有理数与无理数之和，也是无理数，所以命题也成立。于是，如果这归纳法合法，可以断言 [公式] 对所有 [公式] 成立，但是，很清楚这是荒谬的！

请注意：数学归纳法研究的关于自然数 [公式] 的命题，总是对有限的 [公式] （尽管它可以任意地大）进行断定的，切勿草率地推广到 [公式] 的场合，因为：

无穷大不是任何自然数的后继 [公式] ，或者说，无穷大根本就不是自然数。

这个问题很深刻，具体分析请查阅 [公式] 公理的有关内容。

附带说一句，即使是通常的正向归纳法，也不能推广到 [公式] 的情形，你只要稍微改造一下上述反例就可以很轻松地得到一个新的反例。

反向归纳法是可行的，但你的写法不对。

如果[公式]只是涉及自然数的命题，那么[公式]时，命题成立的含义根本就不明确。你根本就没有定义 [公式] ，如果你想说n足够大时 [公式] 都成立，那么条件过强以至于结论是显然的废话。

正确的表述是，存在序列 [公式] , 每个[公式] 为真。

或者， [公式] 为真。

例如，先归纳证明 [公式] 成立。

一般没有「当 [公式] 时命题成立」这种叙述的定义，所以为了完善定义比较好的方法是考虑所有命题在等价关系下的商集，并为之赋予拓扑，使得 [公式] ， [公式] ， [公式] ， [公式] 分别是连续映射（其中任意二者连续则其他均连续）。在这样的条件下原题目是定义良好的。

已知 [公式] 恒成立，并且 [公式] ，求证 [公式] .

因为 [公式] 对任意 [公式] 成立，因此 [公式]

[公式] [公式]

综上命题得证

一个例子是，考虑有穷可加的有限测度空间 [公式] 上的单变元命题 [公式] ，定义运算 [公式] ，可以注意到这样的加法具有交换律和结合律，同时 [公式] ， [公式] .其中 [公式] 表示假命题（的等价类）

因此，全体命题构成了群。通过规定 [公式] ，全体命题具有了距离结构，成为距离拓扑空间。

例如，当 [公式] 时，对于命题 [公式] ，因为 [公式] ，所以有 [公式] 成立，直观上就是这个命题随著 [公式] 增大越来越正确。但是注意到 [公式] ，所以 [公式] ，虽然有 [公式] 但是 [公式] ，所以不会因为归纳法产生矛盾。

不请自来

这才是反向数学归纳法

以上

【1】如果这种归纳法成立，可以证明每一个自然数都是无穷大。

构造数列[公式] 。

首先 [公式]

其次假设 [公式] 则 [公式] 因此根据题目中的数学归纳法，对于所有 [公式] 有 [公式] 即所有自然数都是无穷大。

【2】如果这种归纳法成立，还可以证明 [公式]

构造数列[公式]

首先 [公式] 其次假设 [公式] 则 [公式] 因此根据题目中的数学归纳法，对于所有 [公式] 有 [公式] 自然当 [公式] 时，[公式]

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