这个问题简单来说就是数的表示问题。

我们的十进位计数法，其规则是将数字分成[0,1], [1,2], ...., [8-9], [9,10]共10个区间，数字落到哪个区间，就用哪个区间的下限记录，从而构成十进位计数。

比如1.7，它在[1,2]区间，故整数位记1；去掉1，就是1.7-1=0.7后，乘以基数10，得到7，可以看成在[7,8]区间（这个存疑，后面讨论），记下7。结果就是1.7。

通过这个方法，一个有理数总可以表示成两种无限小数的形式。

以1为例，如果考虑1在[1,2]区间，记下整数位1；

去掉1，剩下的1-1=0，乘以基数10，为0，在[0,1]区间，所以第1位小数是0；

再去掉这个0，后面乘基数还是0，在[0,1]区间，所以第2位小数是0；

......

最终得到：1.0000...

但1也在[0,1]区间，记下整数位0；

1-0，剩下1，乘以基数10，得到10，在[9,10]区间，因此第1位小数是9；

再去掉这个9，即10-9=1，再乘基数10，得到10，在[9,10]区间，因此第2位小数是9；

......

最终得到：0.999...

这个相当于试商法的这个过程，以 [公式] 为例：

当然你也可以用别的数字相除得到。

回到1.7的那个7，它除了在[7,8]区间，也可以再[6,7]区间，因此1.7可以写成1.7000....，也可以写成1.6999...。

总之，任何一个有理数都可以写成两种无限小数的形式，只是大家更关注1而已。

不定义0.999...谈这个问题就是耍流氓

这种问题产生的根源其实是在小学数学所教分数化小数的结果是唯一的，但是小学又从不否认0.999...这样形式的「小数」的合法性。

小学五年级我们就知道 [公式] 做除法只能得到 [公式] 而不是 [公式] ，因为我们规定，每一位数字必须取不超过原数的最大数才能继续找下一位。

这样看来 [公式] 就并非一个合法的小数，即 [公式] 不存在。

分数化小数是唯一的，但是反过来，如果我们承认所有形式的小数都是合法的，如何找到对应的实数呢？

根据我们小学三年级对于有限小数的认识：114.514=114+5x0.1+1x0.01+4x0.001，顺著这个思路，我们似乎可以把无限小数定义为一种无穷加和，也即级数：

[公式]

另一种认识无限小数的方式是，它是用一串有限小数对于一个实数的逼近，比如 π=3.14159... ，e=2.71828...。只取小数前n位，它永远比这个实数要小，但是随著数位增多，误差越来越小，趋于0，这就让我们用极限定义无限小数：

[公式]

这个两个定义实际是相同的，因为级数的定义就是部分和的极限，所谓无穷并非一个实数，我们把它理解为一个极限：

[公式]

那么这样0.999...=1就很显然了，0.99...9（n个9）所逼近的就是1嘛，直接计算也可以得到：

[公式]

我们最后回过头来讲讲实数怎么化小数，并且证明9循环并非一个合法的小数表示： 实数 [公式] 的小数表示 [公式] 满足以下条件：

  1. [公式]

    实际上（看似）又回到了以上的结果。

    然而将这个结果带回 [公式] ，好了，因为 [公式] ，因此 [公式] 不满足第一个不等式所以不合法/不存在。还可以证明，在这个无限小数定义下，不可能出现9循环，证明留给读者做练习 。

    还有一个问题就是 [公式] 以及 [公式] 到底成不成立。

    如果用级数定义无限小数，根据级数的性质 [公式] 以及[公式] （前提是右边两个级数都存在），有：

    [公式]

    [公式]

    得出这两种解法都是成立的。

    最后给各位展示一下几本淑芬书对十进小数的定义：（节选不连续）

    1.

    《陶哲轩实分析》

    2.

    Rudin《数学分析原理》

    3.

    卓里奇《数学分析》

    完全抛弃循环小数这种傻屌表述就完事了

    你把所有的循环小数都写成分数式

    就不会有不理解的问题了

    0.9 9循环写成分数就是9/9

    即1

    （循环小数都可以写作 循环节/和循环节等长个9）

    这只是『数的10进位表示』方案的缺陷，表示比数多，所以有多个表示对应1个数。这就像经纬度系统，北极点的经度可以是任意数，1个地理点对应多个坐标点。

    既然数学上两个不同的数字1和0.999...是相等的，既然相等怎么会不同是不是有悖论？?

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    关于「 [公式] 是否等于 [公式] 」的问题，最合理的解释就是直接利用实数本身的性质。

    简单地说，就是：任意两个不等的实数 [公式] 和 [公式] 之间，都存在第三个实数 [公式] 。这是因为，对于任意两个不相等的实数 [公式] 和 [公式] ，我们总能够找到介于二者中间的实数 [公式] ，也就是 [公式] 与 [公式] 的算术平均数。以此类推，两个不相等的实数之间必有无穷多个实数。其逆否命题为：若我们无法在 [公式] 与 [公式] 之间找到一个实数，则两个实数相等。我们在高中数学都学过：逆否命题与原命题的真假性相同。

    按照这个逻辑，要想说明 [公式] ，只需说明我们无法在 [公式] 和 [公式] 之间找到任何实数。

    假设 [公式] ，那么存在实数 [公式] ，使得 [公式] 。

    根据假设条件 [公式] ，可知 [公式] 。

    于是，无论 [公式] 有多小，由于它是正数，如果表示成小数形式的话，其小数点之后必定存在不是 [公式] 的数位。

    因而，无论 [公式] 取何值， [公式] 一定都比 [公式] 要小（例如，当 [公式] 时， [公式]? [公式] ），这又与假设条件 [公式] 矛盾。

    这个矛盾说明，不存在大于 [公式] ，且小于 [公式] 的实数。

    所以 [公式] 。

    以前我也一直想一个问题：为什么三个三分之一是一，而三个0.333?却是0.999?。直到最近我才明白：0.333?只是无限接近三分之一，并不是三分之一，也就是说，0.999?只是无限接近三分之三(也就是1)，而不等于1。

    你如果能理解1+dx=1，就能理解这道题。

    数学中定义很重要，小数是实数的一种表示法，有些实数小数可以直接相等，有些就只能无限接近。我们可以给小数下个定义，比如 lim a0.a1…an…=实数，这样你就知道，0.99…和1.00…都表示实数1。数学其实就是公理、定义和逻辑推理而已。

    因为0.3（3循环）=1/3，等号两边同乘以3，即得0.9（9循环）=1。也可以有第二种理解方式，丨1-0.9（9循环）丨&

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