這個問題簡單來說就是數的表示問題。

我們的十進位計數法，其規則是將數字分成[0,1], [1,2], ...., [8-9], [9,10]共10個區間，數字落到哪個區間，就用哪個區間的下限記錄，從而構成十進位計數。

比如1.7，它在[1,2]區間，故整數位記1；去掉1，就是1.7-1=0.7後，乘以基數10，得到7，可以看成在[7,8]區間（這個存疑，後面討論），記下7。結果就是1.7。

通過這個方法，一個有理數總可以表示成兩種無限小數的形式。

以1為例，如果考慮1在[1,2]區間，記下整數位1；

去掉1，剩下的1-1=0，乘以基數10，為0，在[0,1]區間，所以第1位小數是0；

再去掉這個0，後面乘基數還是0，在[0,1]區間，所以第2位小數是0；

......

最終得到：1.0000...

但1也在[0,1]區間，記下整數位0；

1-0，剩下1，乘以基數10，得到10，在[9,10]區間，因此第1位小數是9；

再去掉這個9，即10-9=1，再乘基數10，得到10，在[9,10]區間，因此第2位小數是9；

......

最終得到：0.999...

這個相當於試商法的這個過程，以 [公式] 為例：

當然你也可以用別的數字相除得到。

回到1.7的那個7，它除了在[7,8]區間，也可以再[6,7]區間，因此1.7可以寫成1.7000....，也可以寫成1.6999...。

總之，任何一個有理數都可以寫成兩種無限小數的形式，只是大家更關注1而已。

不定義0.999...談這個問題就是耍流氓

這種問題產生的根源其實是在小學數學所教分數化小數的結果是唯一的，但是小學又從不否認0.999...這樣形式的「小數」的合法性。

小學五年級我們就知道 [公式] 做除法只能得到 [公式] 而不是 [公式] ，因為我們規定，每一位數字必須取不超過原數的最大數才能繼續找下一位。

這樣看來 [公式] 就並非一個合法的小數，即 [公式] 不存在。

分數化小數是唯一的，但是反過來，如果我們承認所有形式的小數都是合法的，如何找到對應的實數呢？

根據我們小學三年級對於有限小數的認識：114.514=114+5x0.1+1x0.01+4x0.001，順著這個思路，我們似乎可以把無限小數定義為一種無窮加和，也即級數：

[公式]

另一種認識無限小數的方式是，它是用一串有限小數對於一個實數的逼近，比如 π=3.14159... ，e=2.71828...。只取小數前n位，它永遠比這個實數要小，但是隨著數位增多，誤差越來越小，趨於0，這就讓我們用極限定義無限小數：

[公式]

這個兩個定義實際是相同的，因為級數的定義就是部分和的極限，所謂無窮並非一個實數，我們把它理解為一個極限：

[公式]

那麼這樣0.999...=1就很顯然了，0.99...9（n個9）所逼近的就是1嘛，直接計算也可以得到：

[公式]

我們最後回過頭來講講實數怎麼化小數，並且證明9循環並非一個合法的小數表示： 實數 [公式] 的小數表示 [公式] 滿足以下條件：

  1. [公式]

    實際上（看似）又回到了以上的結果。

    然而將這個結果帶回 [公式] ，好了，因為 [公式] ，因此 [公式] 不滿足第一個不等式所以不合法/不存在。還可以證明，在這個無限小數定義下，不可能出現9循環，證明留給讀者做練習 。

    還有一個問題就是 [公式] 以及 [公式] 到底成不成立。

    如果用級數定義無限小數，根據級數的性質 [公式] 以及[公式] （前提是右邊兩個級數都存在），有：

    [公式]

    [公式]

    得出這兩種解法都是成立的。

    最後給各位展示一下幾本淑芬書對十進小數的定義：（節選不連續）

    1.

    《陶哲軒實分析》

    2.

    Rudin《數學分析原理》

    3.

    卓裏奇《數學分析》

    完全拋棄循環小數這種傻屌表述就完事了

    你把所有的循環小數都寫成分數式

    就不會有不理解的問題了

    0.9 9循環寫成分數就是9/9

    即1

    （循環小數都可以寫作 循環節/和循環節等長個9）

    這只是『數的10進位表示』方案的缺陷，表示比數多，所以有多個表示對應1個數。這就像經緯度系統，北極點的經度可以是任意數，1個地理點對應多個坐標點。

    既然數學上兩個不同的數字1和0.999...是相等的，既然相等怎麼會不同是不是有悖論？?

    www.zhihu.com圖標

    關於「 [公式] 是否等於 [公式] 」的問題，最合理的解釋就是直接利用實數本身的性質。

    簡單地說，就是：任意兩個不等的實數 [公式] 和 [公式] 之間，都存在第三個實數 [公式] 。這是因為，對於任意兩個不相等的實數 [公式] 和 [公式] ，我們總能夠找到介於二者中間的實數 [公式] ，也就是 [公式] 與 [公式] 的算術平均數。以此類推，兩個不相等的實數之間必有無窮多個實數。其逆否命題為：若我們無法在 [公式] 與 [公式] 之間找到一個實數，則兩個實數相等。我們在高中數學都學過：逆否命題與原命題的真假性相同。

    按照這個邏輯，要想說明 [公式] ，只需說明我們無法在 [公式] 和 [公式] 之間找到任何實數。

    假設 [公式] ，那麼存在實數 [公式] ，使得 [公式] 。

    根據假設條件 [公式] ，可知 [公式] 。

    於是，無論 [公式] 有多小，由於它是正數，如果表示成小數形式的話，其小數點之後必定存在不是 [公式] 的數位。

    因而，無論 [公式] 取何值， [公式] 一定都比 [公式] 要小（例如，當 [公式] 時， [公式]? [公式] ），這又與假設條件 [公式] 矛盾。

    這個矛盾說明，不存在大於 [公式] ，且小於 [公式] 的實數。

    所以 [公式] 。

    以前我也一直想一個問題：為什麼三個三分之一是一，而三個0.333?卻是0.999?。直到最近我才明白：0.333?只是無限接近三分之一，並不是三分之一，也就是說，0.999?只是無限接近三分之三(也就是1)，而不等於1。

    你如果能理解1+dx=1，就能理解這道題。

    數學中定義很重要，小數是實數的一種表示法，有些實數小數可以直接相等，有些就只能無限接近。我們可以給小數下個定義，比如 lim a0.a1…an…=實數，這樣你就知道，0.99…和1.00…都表示實數1。數學其實就是公理、定義和邏輯推理而已。

    因為0.3（3循環）=1/3，等號兩邊同乘以3，即得0.9（9循環）=1。也可以有第二種理解方式，丨1-0.9（9循環）丨&

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