为什么数学上那么多问题与矩阵有关？

矩阵是用来描述有限维线性空间之间的线性映射的一种图形化、紧凑化的符号语言。

一方面，有限维线性空间可能是最接地气的空间，本身就来自于对我们感知的这个三维空间的抽象推广，特别符合人的认知习惯，也特别吻合很多人类关心对象的特征。相应地，线性映射可能是最接地气的映射，是对生活中旋转伸缩三维对象的抽象推广，同样特别符合人的认知习惯，也特别吻合很多人类关心对象的特征。在微分的思想指导下，线性空间和线性映射更成为了复杂空间和映射的（局部）简化近似，从而拥有了更强的功能。简言之，我们的世界，通常在局部就是一个大体可以用线性空间和线性映射描述的世界。

另一方面，矩阵是一种机灵、好用的符号语言。就像汉字巧妙利用二维空间上的笔画结构，在空间效率上显得比英文这种线性排列字母的语言聪明一样，矩阵利用这种阵列图形结构，省去了一堆加号乘号，很简洁，很紧凑。而用单个字母表示的矩阵（及矩阵运算），则将一个可能包含极多加法和数乘的计算进一步浓缩到一个字母上，极其紧凑从而减轻人类阅读思考负担的同时，往往更能反映问题的本质。

我认为，上述两点，使得矩阵成为数学语言中，除了数字和基本算符外最为常用的基础辞汇。所以，与其说很多问题都与矩阵有关，不如说很多问题都用到矩阵这个数学语言辞汇来表述。真正研究矩阵本身或与之紧密相关问题的领域，相对是较小的。

人类的数学的建立和证明过程是依赖于物理载体（基于生命科学同时也是物理载体的人类认知和学习模式，具体计算需求的时空界限）的。一个小小的误区作为范例来说，人类实质上没有能够理解无限（拓扑，度量和测度结构，以及作为相当的算术问题的复杂性根源），因为无限本质是不存在的，人类只是假定其存在满足一个合情演绎的归纳假设，一个逻辑结构，依旧依赖于链式存储结构，其证明的演算法所涉及的原子（公理））演算法依旧是有限离散的。

从这个角度来看，一方面虽然所有大的框架性问题都会化为代数问题，代数问题再抽象一层也体现了一些非常简单的图和组合的形式，在这个层面上我们是依赖于线性代数的，同时，一些更具体的填充内容，一些精细命题的实现，是无法回避具体的，这种具体的线性表的模式必须通过矩阵或者更低维的数来实现（这里依赖于我第一段所说的人类研究数学的限制），同时，矩阵的乘法不唯一，和这个问题无关，只要命题是逻辑复杂度等价的，就是实质等价的，不依赖于实现语言的不同，我所说的本质就是，人类对数学的建立和证明，实质上在认知层面从一开始而言就没有什么不同，因此都是在某种层面的类数或类矩阵的计算。

矩阵的本质就是向量，向量就是有方向的长度。。。你觉得还能用的少吗

刚好最近回答了类似的问题。

分别从代数和几何的角度谈谈你对矩阵的理解？?

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纯数学里面只有抽象的函数、线性泛函、张量，数学里的所有线性映射，落实到具体的物理问题、工程问题，才会落实成一个个矩阵的表象（物理里类似于厄米算符和厄米矩阵的关系），工程里的线形系统也可以写成矩阵的形式，所以本质上这反应了人类在描述自然时高度的依赖线性形式

谢邀，因为我现在学的东西都很浅薄，大概说一下我最近的感受。

当我们解决很多实际问题，物理上等最后大多将其转换成了微分方程求解，再通过有限差分法转换成线性方程组求解，这时候就涉及到矩阵。

很多图像处理问题中，也是涉及矩阵。。。

这个问题，1数学是工具，矩阵是数学重要部分。2你需要多看书，多学知识。

是因为数学上大部分问题都与线性结构有关。举个例子微积分中的微分就是线性的，而微积分真的是无处不在

这样的话我们就会关注如何把这个线性的结构描述出来。矩阵的作用就是一种把这个线性的变换直观表示出来的符号。即使一个变换不是线性的，在非常小的局部上我们仍然可以把他看成线性的。所以研究一种变换的时候我们都会用矩阵这个工具来搞。

除此之外，在张量的语言中，线性变换是个(1,1)形式。但是一个(0,2), (2,0), (1,1)的张量都可以用矩阵表示出来，，，的矩阵表示是一回事。内积，度规，Ricci曲率，辛形式这些都是(0,2)形式。应力是个(2,0)形式。所以矩阵的用武之地特别大。

我其实觉得最令人惊叹的还是eigenvalue，很多问题最后基本都变成了分析某个矩阵的eigenvalue。如果是连续的就分析运算元谱。我大一学线性代数的时候并没有意识到eigenvalue的重要性，总觉得像是一种凭空造出来的数学游戏。因为当时水平太次了没办法从全局的角度来看待问题，意识不到保持向量的方向有多重要。多看一些微分几何上的例子就会有更直观的感触。

数学很多时候是研究空间和空间中元素转换的。

数学把遇到的问题定义在一定空间中，用基描述空间中元素的组成，其坐标即向量，用矩阵描述元素(向量)间的转换→矩阵表达了不同元素之间的转换规则，因此矩阵很重要。

谢邀

因为数学中大多数问题都与映射有关，从向量到向量的线性映射是一个应用很广泛的课题，而矩阵就是线性映射的实物载体，哪怕是非线性映射，我们也可以对其取微分，局部地将其看作为线性映射。