為什麼數學上那麼多問題與矩陣有關？

矩陣是用來描述有限維線性空間之間的線性映射的一種圖形化、緊湊化的符號語言。

一方面，有限維線性空間可能是最接地氣的空間，本身就來自於對我們感知的這個三維空間的抽象推廣，特別符合人的認知習慣，也特別吻合很多人類關心對象的特徵。相應地，線性映射可能是最接地氣的映射，是對生活中旋轉伸縮三維對象的抽象推廣，同樣特別符合人的認知習慣，也特別吻合很多人類關心對象的特徵。在微分的思想指導下，線性空間和線性映射更成為了複雜空間和映射的（局部）簡化近似，從而擁有了更強的功能。簡言之，我們的世界，通常在局部就是一個大體可以用線性空間和線性映射描述的世界。

另一方面，矩陣是一種機靈、好用的符號語言。就像漢字巧妙利用二維空間上的筆畫結構，在空間效率上顯得比英文這種線性排列字母的語言聰明一樣，矩陣利用這種陣列圖形結構，省去了一堆加號乘號，很簡潔，很緊湊。而用單個字母表示的矩陣（及矩陣運算），則將一個可能包含極多加法和數乘的計算進一步濃縮到一個字母上，極其緊湊從而減輕人類閱讀思考負擔的同時，往往更能反映問題的本質。

我認為，上述兩點，使得矩陣成為數學語言中，除了數字和基本算符外最為常用的基礎辭彙。所以，與其說很多問題都與矩陣有關，不如說很多問題都用到矩陣這個數學語言辭彙來表述。真正研究矩陣本身或與之緊密相關問題的領域，相對是較小的。

人類的數學的建立和證明過程是依賴於物理載體（基於生命科學同時也是物理載體的人類認知和學習模式，具體計算需求的時空界限）的。一個小小的誤區作為範例來說，人類實質上沒有能夠理解無限（拓撲，度量和測度結構，以及作為相當的算術問題的複雜性根源），因為無限本質是不存在的，人類只是假定其存在滿足一個合情演繹的歸納假設，一個邏輯結構，依舊依賴於鏈式存儲結構，其證明的演算法所涉及的原子（公理））演算法依舊是有限離散的。

從這個角度來看，一方面雖然所有大的框架性問題都會化為代數問題，代數問題再抽象一層也體現了一些非常簡單的圖和組合的形式，在這個層面上我們是依賴於線性代數的，同時，一些更具體的填充內容，一些精細命題的實現，是無法迴避具體的，這種具體的線性表的模式必須通過矩陣或者更低維的數來實現（這裡依賴於我第一段所說的人類研究數學的限制），同時，矩陣的乘法不唯一，和這個問題無關，只要命題是邏輯複雜度等價的，就是實質等價的，不依賴於實現語言的不同，我所說的本質就是，人類對數學的建立和證明，實質上在認知層面從一開始而言就沒有什麼不同，因此都是在某種層面的類數或類矩陣的計算。

矩陣的本質就是向量，向量就是有方向的長度。。。你覺得還能用的少嗎

剛好最近回答了類似的問題。

分別從代數和幾何的角度談談你對矩陣的理解？?

www.zhihu.com

純數學裡面只有抽象的函數、線性泛函、張量，數學裡的所有線性映射，落實到具體的物理問題、工程問題，才會落實成一個個矩陣的表象（物理裏類似於厄米算符和厄米矩陣的關係），工程裏的線形系統也可以寫成矩陣的形式，所以本質上這反應了人類在描述自然時高度的依賴線性形式

謝邀，因為我現在學的東西都很淺薄，大概說一下我最近的感受。

當我們解決很多實際問題，物理上等最後大多將其轉換成了微分方程求解，再通過有限差分法轉換成線性方程組求解，這時候就涉及到矩陣。

很多圖像處理問題中，也是涉及矩陣。。。

這個問題，1數學是工具，矩陣是數學重要部分。2你需要多看書，多學知識。

是因為數學上大部分問題都與線性結構有關。舉個例子微積分中的微分就是線性的，而微積分真的是無處不在

這樣的話我們就會關注如何把這個線性的結構描述出來。矩陣的作用就是一種把這個線性的變換直觀表示出來的符號。即使一個變換不是線性的，在非常小的局部上我們仍然可以把他看成線性的。所以研究一種變換的時候我們都會用矩陣這個工具來搞。

除此之外，在張量的語言中，線性變換是個(1,1)形式。但是一個(0,2), (2,0), (1,1)的張量都可以用矩陣表示出來，，，的矩陣表示是一回事。內積，度規，Ricci曲率，辛形式這些都是(0,2)形式。應力是個(2,0)形式。所以矩陣的用武之地特別大。

我其實覺得最令人驚嘆的還是eigenvalue，很多問題最後基本都變成了分析某個矩陣的eigenvalue。如果是連續的就分析運算元譜。我大一學線性代數的時候並沒有意識到eigenvalue的重要性，總覺得像是一種憑空造出來的數學遊戲。因為當時水平太次了沒辦法從全局的角度來看待問題，意識不到保持向量的方向有多重要。多看一些微分幾何上的例子就會有更直觀的感觸。

數學很多時候是研究空間和空間中元素轉換的。

數學把遇到的問題定義在一定空間中，用基描述空間中元素的組成，其坐標即向量，用矩陣描述元素(向量)間的轉換→矩陣表達了不同元素之間的轉換規則，因此矩陣很重要。

謝邀

因為數學中大多數問題都與映射有關，從向量到向量的線性映射是一個應用很廣泛的課題，而矩陣就是線性映射的實物載體，哪怕是非線性映射，我們也可以對其取微分，局部地將其看作為線性映射。