为什么算曲边梯形面积用微积分是先算原函数然后代入相减？
算一个曲边梯形面积的时候是先把它所在的函数的原函数先算出来，然后把两个端点的值带进原函数里然后相减就得到面积了。为什么他们的差值会等于这个曲边梯形的面积呢？
如果把一个函数比作每日流水账，记录每日净结余。
它的原函数相当于记录你的总资产。
想知道你这个月赚了多少，拿你月末的总资产减去月初的总资产就行了。
（对于简单的阶梯状函数，可以简单把每日净结余加起来，但对于能够简单计算出原函数的，显然做差方便，而对于原函数也写不出来的，那只能数值方法，估计每日每小时每分的结余加起来了）
f(x)dx=f(x)dx
左边解释为: 高x宽=小长方形面积。
右边解释为:斜率x宽=小三角形直角边高度。
把左边叠加，就是面积。
把右边叠加，就是高。
左边从 a 到 b 叠加面积，得到 a 到 b 的面积。
右边从 a 到 b 叠加高，得到的是 a 到 b 的高度差，就是 F(b)-F(a)。
补一张图。
「算一个曲边梯形面积的时候是先把它所在的函数的原函数先算出来」
提到积分你想到的是什么？正常情况下你的反应应该是三步：分割，求和，取极限。那么它是如何与原函数有关的呢？
那么按照下面三步来说明（部分证明）原函数的增量就是曲面梯形所围的面积（以下简称面积）：
- 面积=定积分
- 原函数的增量=定积分
- 原函数的增量=面积
我们使用定积分 来作为一种定义从a到b面积的符号这是无可厚非的，因为这就是积分的本意。我们的重点在于证明原函数的增量与定积分的值相同。
然而证明原函数的增量与定积分的值相同要从变上限积分的发现开始说起，变上限的积分顾名思义，是上限在变的积分形如： 对一个函数进行积分并且记录它在下限固定时取不同的上限函数值都是多少，这样我们可以形成一个函数。我们来证明
的导数是
，这样它就是
的原函数。
那么我们有 的导数：
我们继续使用一步积分中值定理
然而原函数之间只差一个常数 （这是一个经典的证明一个函数为常数的套路） 求
任意两个原函数的差的导数为0
所以它们的差为常函数即常数。再进一步 任一个原函数
则有
其实就是证了一下牛顿-莱布尼兹公式……
定积分的定义告诉我们它可以用来求曲边梯形的面积，而微积分基本定理则进一步指出，在一定条件下，定积分的值等于被积函数的原函数（有时候不存在）在积分上下限处函数值的差。
计算机：老子数值积分就直接分割求和，原函数是啥我不知道，有的函数的原函数无法解析地表示
这是用「牛顿-莱布尼茨公式」求定积分的过程，而定积分的几何意义就是曲边梯形的代数面积（所谓代数面积，就是把在x轴上方的面积取正号，x轴下方的面积取负号），所以如果这个曲边梯形完全在x轴上方的话，相应定积分的值就是它的面积了。
这你们全没理解微分的基本性质，道理非常简单：
当一函数图象上下任意移动，导数是不变的，所以不定积分就是求求导时的原函数，而原函数有无数个，要由初始条件来确定是那个原函数，但你说的上，下相减并不用求出所有原函数，是定积分，那你不上下相减怎么知道左，右边界啊』？没边界那有面积啊？
这就是微积分基本定理（牛莱公式是它的结论）的伟大之处了，建立了微分和积分之间的联系。定积分就是为了解决求面积这类问题而产生的，所以，求面积问题，可以看成定积分问题，而定积分的求解，数学家们，引入变上限积分函数，并推导出满足某些条件的定积分问题的解。牛顿和莱布尼兹先后推导出了牛莱公式，完成了微积分基本定理的发现。为什么恰好面积等于原函数的上下限之差，只能通过微积分基本定理一探究竟。但这种哲学上的高度统一，却可以去用心感受。
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