為什麼算曲邊梯形面積用微積分是先算原函數然後代入相減？
算一個曲邊梯形面積的時候是先把它所在的函數的原函數先算出來，然後把兩個端點的值帶進原函數裏然後相減就得到面積了。為什麼他們的差值會等於這個曲邊梯形的面積呢？
如果把一個函數比作每日流水賬，記錄每日凈結餘。
它的原函數相當於記錄你的總資產。
想知道你這個月賺了多少，拿你月末的總資產減去月初的總資產就行了。
（對於簡單的階梯狀函數，可以簡單把每日凈結餘加起來，但對於能夠簡單計算出原函數的，顯然做差方便，而對於原函數也寫不出來的，那隻能數值方法，估計每日每小時每分的結餘加起來了）
f(x)dx=f(x)dx
左邊解釋為: 高x寬=小長方形面積。
右邊解釋為:斜率x寬=小三角形直角邊高度。
把左邊疊加，就是面積。
把右邊疊加，就是高。
左邊從 a 到 b 疊加面積，得到 a 到 b 的面積。
右邊從 a 到 b 疊加高，得到的是 a 到 b 的高度差，就是 F(b)-F(a)。
補一張圖。
「算一個曲邊梯形面積的時候是先把它所在的函數的原函數先算出來」
提到積分你想到的是什麼？正常情況下你的反應應該是三步：分割，求和，取極限。那麼它是如何與原函數有關的呢？
那麼按照下面三步來說明（部分證明）原函數的增量就是曲面梯形所圍的面積（以下簡稱面積）：
- 面積=定積分
- 原函數的增量=定積分
- 原函數的增量=面積
我們使用定積分 來作為一種定義從a到b面積的符號這是無可厚非的，因為這就是積分的本意。我們的重點在於證明原函數的增量與定積分的值相同。
然而證明原函數的增量與定積分的值相同要從變上限積分的發現開始說起，變上限的積分顧名思義，是上限在變的積分形如： 對一個函數進行積分並且記錄它在下限固定時取不同的上限函數值都是多少，這樣我們可以形成一個函數。我們來證明
的導數是
，這樣它就是
的原函數。
那麼我們有 的導數：
我們繼續使用一步積分中值定理
然而原函數之間只差一個常數 （這是一個經典的證明一個函數為常數的套路） 求
任意兩個原函數的差的導數為0
所以它們的差為常函數即常數。再進一步 任一個原函數
則有
其實就是證了一下牛頓-萊布尼茲公式……
定積分的定義告訴我們它可以用來求曲邊梯形的面積，而微積分基本定理則進一步指出，在一定條件下，定積分的值等於被積函數的原函數（有時候不存在）在積分上下限處函數值的差。
計算機：老子數值積分就直接分割求和，原函數是啥我不知道，有的函數的原函數無法解析地表示
這是用「牛頓-萊布尼茨公式」求定積分的過程，而定積分的幾何意義就是曲邊梯形的代數面積（所謂代數面積，就是把在x軸上方的面積取正號，x軸下方的面積取負號），所以如果這個曲邊梯形完全在x軸上方的話，相應定積分的值就是它的面積了。
這你們全沒理解微分的基本性質，道理非常簡單：
當一函數圖象上下任意移動，導數是不變的，所以不定積分就是求求導時的原函數，而原函數有無數個，要由初始條件來確定是那個原函數，但你說的上，下相減並不用求出所有原函數，是定積分，那你不上下相減怎麼知道左，右邊界啊』？沒邊界那有面積啊？
這就是微積分基本定理（牛萊公式是它的結論）的偉大之處了，建立了微分和積分之間的聯繫。定積分就是為瞭解決求面積這類問題而產生的，所以，求面積問題，可以看成定積分問題，而定積分的求解，數學家們，引入變上限積分函數，並推導出滿足某些條件的定積分問題的解。牛頓和萊布尼茲先後推導出了牛萊公式，完成了微積分基本定理的發現。為什麼恰好面積等於原函數的上下限之差，只能通過微積分基本定理一探究竟。但這種哲學上的高度統一，卻可以去用心感受。
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