数论和群论的关系是什么？有哪些数论定理能用群论证明？

群是抽象代数的一部分，学完群以后还会学习环，域，模，它们是互相关联的。

事实上数论与整个抽象代数都有很大关系：数论的对象以及研究的问题为抽象代数提供了例子也促进了抽象代数理论的形成，比如数论中的整数集合是一个环，模n剩余类是一个环，模p剩余类是一个域，抽象代数中环与理想的发展是从证明费马大定理开始的。

抽象代数为数论提供了一套研究方法，比如抽象代数的方法研究数论是代数数论的内容，可以解决一些初等数论不好解决的问题。

下面是一些用抽象代数方法研究数论的例子

①算术基本定理也就是整数的唯一分解性质，可以用唯一分解环的判定来证明。当然，整数集合按照加法和乘法构成一个环，可以看做唯一分解环的一个例子，事实上整数环也是主理想整环，欧式环的一个例子，欧式环可以看做整数环的推广。

②模n的剩余类按照加法运算构成一个交换群，模n的既约剩余类按照乘法构成一个交换群，模n的剩余类按照加法和乘法构成一个环，模素数p的剩余类按照加法和乘法构成一个有限域。

剩余类环的元素的阶就是对应的乘群元素的阶。

初等数论的定理中：欧拉定理，费马小定理，威尔逊定理可以用群来证明。

剩下的中国剩余定理可以用环来证明，用环的知识可以得出剩余类环Zn的结构。

③有些数论问题可以放在高斯整数环Z[i]以及其他代数整数环中来研究，比如二平方和问题，一些丢番图方程，费马大定理的一些特例。

丢番图方程中用到抽象代数方法的一些例子可以参考：

刘最白：如何证明不定方程是否有解?

参考自Serre, A Course in Arithmetic

数论和群论当然联系紧密。研究现代数论会不可避免地碰到各种抽象结构，数论也对有限群论发展来说也极其重要。就拿Serre这本书而言，前半部分使用代数方法研究二次型的数论问题，不只是群论环论，还有各种复杂的线性空间，但众所周知的，群是一切代数结构的基础。用到了一些天然的代数结构，例如p进数等。其中由以Hasse-Minkowski定理重要，它完成了有理数域上二次型完全分类定理，这个定理非常强大以至于可以完全解决Lagrange四平方和定理，Gauss三平方和定理，Fermat二平方和定理等一系列平方和定理。这是从理论的高度解决初等问题，通过代数方法，特别是群论方法解决数论问题的一个例子。

单说群论，在解决判别式为正负一的整二次型问题时，正定二次型情况异常复杂，只能进行一些有限的估计。当尝试解决24个变元的情况时，我们会得到24种二次型结构，其中有一种结构极其特殊，它的自同构群模掉一个平凡正规子群，竟然得到了一个阶为 8 315 553 613 086 720 000的散在单群！这是Conway发现的。

数学中总有一些神奇的结构，而数论与群论最容易碰上这种奇怪的结构。正因为这些结构抽象，所以它才有各种仿佛毫不相干的解释，例如魔群月光猜想。这也是数论与群论相较于其他数学领域的一个独特魅力。

啊我膨胀了，我来回答这样的题目了

数论和群论结合是非常紧密的...至于怎么紧密嘛，我来抛砖引玉

先解释数论在群论里的应用，最基本的是研究群的order，假设一个群有order n，在探索群的结构的时候，最简单的就是询问它子群的结构，于是质因数分解n，然后自然的就询问是否对于每一个质数的最高次是否可以作为一个子群的order，这个就是sylow theorem，同时可以generalize的询问是否有一个子群的order是一组质数的最高次的积，这个是hall theorem，当然限定条件是solvable group。更进一步的话一些outer automorphism group上bound 的计算自然需要基本的数论

然后就是群论影响数论，最基本的，fermat，wilson，etc都是基本结论。同时如果考虑ideal的话我们发现fractional ideal是一个group，principle fractional ideal是fractional ideal的normal subgroup，可以计算class group，并且可以根据它的order来考虑一个ring是否是UFD。这个还可以引申出很多好玩的，比如adele和idele，或者divisor class group over dedekind domain。当然还有很多，考虑一个exact sequence of groups，可以在上面定义一个cohomology，如果这串groups是galois的话，那就是一个galois cohomology，而这个在local class field里面以classify abelian galois extensions，这个说起来就太长了（我也不太会）。

总之群论和数论几乎无处不在，感觉很多学科不能孤立起来看