數論和羣論的關係是什麼？有哪些數論定理能用羣論證明？

羣是抽象代數的一部分，學完羣以後還會學習環，域，模，它們是互相關聯的。

事實上數論與整個抽象代數都有很大關係：數論的對象以及研究的問題為抽象代數提供了例子也促進了抽象代數理論的形成，比如數論中的整數集合是一個環，模n剩餘類是一個環，模p剩餘類是一個域，抽象代數中環與理想的發展是從證明費馬大定理開始的。

抽象代數為數論提供了一套研究方法，比如抽象代數的方法研究數論是代數數論的內容，可以解決一些初等數論不好解決的問題。

下面是一些用抽象代數方法研究數論的例子

①算術基本定理也就是整數的唯一分解性質，可以用唯一分解環的判定來證明。當然，整數集合按照加法和乘法構成一個環，可以看做唯一分解環的一個例子，事實上整數環也是主理想整環，歐式環的一個例子，歐式環可以看做整數環的推廣。

②模n的剩餘類按照加法運算構成一個交換羣，模n的既約剩餘類按照乘法構成一個交換羣，模n的剩餘類按照加法和乘法構成一個環，模素數p的剩餘類按照加法和乘法構成一個有限域。

剩餘類環的元素的階就是對應的乘羣元素的階。

初等數論的定理中：歐拉定理，費馬小定理，威爾遜定理可以用羣來證明。

剩下的中國剩餘定理可以用環來證明，用環的知識可以得出剩餘類環Zn的結構。

③有些數論問題可以放在高斯整數環Z[i]以及其他代數整數環中來研究，比如二平方和問題，一些丟番圖方程，費馬大定理的一些特例。

丟番圖方程中用到抽象代數方法的一些例子可以參考：

劉最白：如何證明不定方程是否有解?

參考自Serre, A Course in Arithmetic

數論和羣論當然聯繫緊密。研究現代數論會不可避免地碰到各種抽象結構，數論也對有限羣論發展來說也極其重要。就拿Serre這本書而言，前半部分使用代數方法研究二次型的數論問題，不只是羣論環論，還有各種複雜的線性空間，但眾所周知的，羣是一切代數結構的基礎。用到了一些天然的代數結構，例如p進數等。其中由以Hasse-Minkowski定理重要，它完成了有理數域上二次型完全分類定理，這個定理非常強大以至於可以完全解決Lagrange四平方和定理，Gauss三平方和定理，Fermat二平方和定理等一系列平方和定理。這是從理論的高度解決初等問題，通過代數方法，特別是羣論方法解決數論問題的一個例子。

單說羣論，在解決判別式為正負一的整二次型問題時，正定二次型情況異常複雜，只能進行一些有限的估計。當嘗試解決24個變元的情況時，我們會得到24種二次型結構，其中有一種結構極其特殊，它的自同構羣模掉一個平凡正規子羣，竟然得到了一個階為 8 315 553 613 086 720 000的散在單羣！這是Conway發現的。

數學中總有一些神奇的結構，而數論與羣論最容易碰上這種奇怪的結構。正因為這些結構抽象，所以它纔有各種彷彿毫不相干的解釋，例如魔羣月光猜想。這也是數論與羣論相較於其他數學領域的一個獨特魅力。

啊我膨脹了，我來回答這樣的題目了

數論和羣論結合是非常緊密的...至於怎麼緊密嘛，我來拋磚引玉

先解釋數論在羣論裏的應用，最基本的是研究羣的order，假設一個羣有order n，在探索羣的結構的時候，最簡單的就是詢問它子羣的結構，於是質因數分解n，然後自然的就詢問是否對於每一個質數的最高次是否可以作為一個子羣的order，這個就是sylow theorem，同時可以generalize的詢問是否有一個子羣的order是一組質數的最高次的積，這個是hall theorem，當然限定條件是solvable group。更進一步的話一些outer automorphism group上bound 的計算自然需要基本的數論

然後就是羣論影響數論，最基本的，fermat，wilson，etc都是基本結論。同時如果考慮ideal的話我們發現fractional ideal是一個group，principle fractional ideal是fractional ideal的normal subgroup，可以計算class group，並且可以根據它的order來考慮一個ring是否是UFD。這個還可以引申出很多好玩的，比如adele和idele，或者divisor class group over dedekind domain。當然還有很多，考慮一個exact sequence of groups，可以在上面定義一個cohomology，如果這串groups是galois的話，那就是一個galois cohomology，而這個在local class field裡面以classify abelian galois extensions，這個說起來就太長了（我也不太會）。

總之羣論和數論幾乎無處不在，感覺很多學科不能孤立起來看