能用洛必达法则证明重要极限lim_{x->0}sinx/x=1么？

洛必达法则第一个例子，感觉有循环论证之嫌
PS：备份我当时（2013-11-5 11:59:41）看到的wiki一份洛必达法则 - 维基百科，自由的百科全书

能。直接使用三角函数的分析定义。

发现，然后就可以洛了（

但是，这个「三角函数」，真的和几何定义等价吗？

啊，那就见这个回答了：

三角函数只能在直角三角形中计算吗？?

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是可以的！

我们需要回到三角函数的定义、弧度制的定义去解答这个问题。

众所周知曲线的一段弧长为，而单位圆的参数方程用三角函数表示为：，其中是连续可导的函数（这并非循环论证，而是说常见教材证明这两个函数连续和可导是多余的。如果你不满意这个解释，认为没有证明其存在性，请看下面的更新，利用隐函数存在性定理证明），而弧度制的定义为，角度等於单位圆对应弧长，即：

将两端求导，并加上单位圆方程，得到：

对方程（1）（单位圆方程）两端求导，得到：

带入，得到：，再将其代入方程（2）（弧度制方程），得到（至于为什么不是-1，是因为）

根据洛必达法则：

但是并不用这么麻烦，因为根据导数的定义：

当然如果用别的方法比如级数定义三角函数那另说。

参见：

如何严格证明 sinx＜x（0＜x＜π/2）？?

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更个新，换用隐函数存在性定理证明。

你说凭啥上面单位圆用三角函数写成参数方程，他就连续可导呢？

考虑单位圆的右半圆周，点与之间的弧长为：

记，因为偏导数连续，由隐函数存在定理，在的一个邻域存在连续可导的函数，使得，且

因为故 .

同理根据洛必达法则：

同理并不用这么麻烦，因为根据导数的定义：

再更新：

我们发现单位圆弧长公式中，右边是一个正弦值的函数，左边的弧长可以看做弧度制下的角度，这正好与反正弦函数的定义相符。

因此我们可以定义弧度制下的反正弦函数：

其反函数则是正弦函数的一部分。

不能用洛必达法则在用夹逼定理证出sinx／x的极限是1后，用sinx／x＝1为条件证出了sinx导数为cosx。而如果用洛必达法则证lim sinx／x （x趋近于0）时需要对sinx求导，但sinx求导的推导过程用到了（sinx／x＝1）这个前提条件，所以不能用洛必达法则。

不行，我非要讲一下，看到太多人装逼循环论证了。循环论证的理解不是洛必达的证明过程需要用到sinx/x，而是用完洛必达之后的lim(x→0)sinx/1不能直接等于lim(x→0)cosx/1（因为sinx=cosx的证明需要用到sinx/x），注意是「用完洛必达之后」。洛必达你说拿个夹逼定理证明还说的过去，说什么是用sinx/x为基础证出来的，这是微分方程学魔怔了，啥都要个初值呗。洛必达可以用柯西中值定理证明，柯西中值定理可以用罗尔定理证明，而罗尔定理需要用到费马引理，而他们的条件是区间连续且区间内可导！没有要求sinx/x，包括定理费马引理的证明过程中也没有涉及sinx/x，只是涉及到驻点x处f(x)=0，这个驻点处的导数为零难道你是用：f(x)=cosx故f(0)=cos0=1求的？明明是用保号性证明的好吧。

严格来说的确不能。

如果用洛必达证明它的话，那么就一定要计算的导数，而这个推导过程又会回到证明上来，