能用洛必達法則證明重要極限lim_{x->0}sinx/x=1麼？
洛必達法則 第一個例子，感覺有循環論證之嫌
PS：備份我當時（2013-11-5 11:59:41）看到的wiki一份洛必達法則 - 維基百科，自由的百科全書
能。直接使用三角函數的分析定義。
發現 ，然後就可以洛了（
但是，這個「三角函數」，真的和幾何定義等價嗎？
啊，那就見這個回答了：
三角函數只能在直角三角形中計算嗎？?www.zhihu.com
是可以的！
我們需要回到三角函數的定義、弧度制的定義去解答這個問題。
眾所周知曲線 的一段弧長為
，而單位圓的參數方程用三角函數表示為：
，其中
是連續可導的函數（這並非循環論證，而是說常見教材證明這兩個函數連續和可導是多餘的。如果你不滿意這個解釋，認為沒有證明其存在性，請看下面的更新，利用隱函數存在性定理證明），而弧度制的定義為，角度等於單位圓對應弧長，即：
將兩端求導，並加上單位圓方程，得到：
對方程（1）（單位圓方程）兩端求導，得到 ：
帶入 ，得到：
，再將其代入方程（2）（弧度制方程），得到
（至於為什麼不是-1，是因為
）
根據洛必達法則：
但是並不用這麼麻煩，因為根據導數的定義：
當然如果用別的方法比如級數定義三角函數那另說。
參見：
如何嚴格證明 sinx＜x（0＜x＜π/2）？?www.zhihu.com
更個新，換用隱函數存在性定理證明。
你說憑啥上面單位圓用三角函數寫成參數方程，他就連續可導呢？
考慮單位圓的右半圓周 ，點
與
之間的弧長為：
記 ，因為偏導數
連續，由隱函數存在定理，在
的一個鄰域存在連續可導的函數
，使得
，且
因為 故
.
同理根據洛必達法則：
同理並不用這麼麻煩，因為根據導數的定義：
再更新：
我們發現單位圓弧長公式中，右邊是一個正弦值的函數，左邊的弧長可以看做弧度制下的角度，這正好與反正弦函數的定義相符。
因此我們可以定義弧度制下的反正弦函數：
其反函數則是正弦函數的一部分。
不能用洛必達法則在用夾逼定理證出sinx／x的極限是1後，用sinx／x＝1為條件證出了sinx導數為cosx。而如果用洛必達法則證lim sinx／x （x趨近於0） 時需要對sinx求導，但sinx求導的推導過程用到了（sinx／x＝1）這個前提條件，所以不能用洛必達法則。
不行，我非要講一下，看到太多人裝逼循環論證了。循環論證的理解不是洛必達的證明過程需要用到sinx/x，而是用完洛必達之後的lim(x→0)sinx/1不能直接等於lim(x→0)cosx/1（因為sinx=cosx的證明需要用到sinx/x），注意是「用完洛必達之後」。洛必達你說拿個夾逼定理證明還說的過去，說什麼是用sinx/x為基礎證出來的，這是微分方程學魔怔了，啥都要個初值唄。洛必達可以用柯西中值定理證明，柯西中值定理可以用羅爾定理證明，而羅爾定理需要用到費馬引理，而他們的條件是區間連續且區間內可導！沒有要求sinx/x，包括定理費馬引理的證明過程中也沒有涉及sinx/x，只是涉及到駐點x處f(x)=0，這個駐點處的導數為零難道你是用：f(x)=cosx故f(0)=cos0=1求的？明明是用保號性證明的好吧。
嚴格來說的確不能。
如果用洛必達證明它的話，那麼就一定要計算 的導數，而這個推導過程又會回到證明
上來，
另外這個問題已經有人問過了，回答還是比較準確的。
為什麼不能用洛必達法則證明兩個重要極限？?www.zhihu.com這裡的題主提到一篇文獻：
[1]張軍亮.用洛必達法則證明重要極限的邏輯錯誤[J].高等數學研究,2015,18(05):20+28.
文獻中的邏輯還是比較清楚的，他要表達的主要意思是：
1、 由於在用洛必達法則證明這一極限時，必須要用到 的導數為
，而這個極限的證明剛好又要用到洛必達法則。
2、即便使用Taylor展開來證明，在推導 的Taylor展開時其實也用到了它的導數。這樣的話相當於又用了一次洛必達法則。
因此無論如何，如果用洛必達法則來證明的話，其推導過程如果都是（間接且必須）依賴 這個結論本身的，這樣就形成了所謂的「循環論證」。
可以 在復域展開就行了（）
可以用洛必達法則計算，因為滿足洛必達法則使用的條件
反對目前的高贊回答. 事實上， 是可以用洛必達法則來計算的，且中間不存在循環論證. 這是因為三角函數是完全可以從其他角度（甚至是更嚴謹地）來定義，比如說冪級數. 從冪級數角度一下子就可以得到
於是
更多細節可以參見
楊樹森：三角函數的嚴格定義?zhuanlan.zhihu.com
楊樹森：三角函數的級數定義符合幾何直觀?zhuanlan.zhihu.com
當x趨向於0的時候是可以總洛必達的
要想用洛必達法則證明那個極限等於1，就得證明sinx的導數是cosx，可是sinx的導數是cosx是先用夾逼定理證明出用那個極限等於1，再用那個極限等於1證明出來的。
除非用比這種方法更麻煩的方法證明出sinx的導數是cosx。
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