原问题：

是否存在整系数多项式能分解为几个有理系数多项式之积而不能分解为整系数多项式之积?

前面几位答主已经给出了主要的 argument. 但有一个小问题需要注意：非零有理数在有理数多项式环 [公式] 中是可逆元，而非零整数不一定是 [公式] 中的可逆元。例如， [公式] 在 [公式] 中是可约的，而在 [公式] 中不可约。

另一方面，这是「唯一」一种例外情况。所以为了避免这种情况，我们需要把讨论范围限制在 primitive polynomials: 即各项系数全体的最大公约数为1的多项式。这正是 Gausss Lemma 的内容：

不存在，能分解为有理系数多项式之积就一定能够分解为整系数多项式之积。其实不仅仅是整数与有理数之间存在这个结论。甚至任何主理想整环与其商域之间均存在这个结论（其实有理数就是整数的商域），下面我们用反证法证明：如果多项式

[公式]

其中 [公式] 分别是 [公式] 次是有理系数多项式。则我们可以找到适当的整数 [公式] , 使得

[公式]

均是整系数多项式，且两个多项式的系数的最大公约数均为 [公式] , 即系数互素。

此时有

[公式]

不妨假定 [公式] 已经是最简分数。此时不妨再假定 [公式] 的一个素因子是 [公式] , 由于 [公式] 的系数均互素，因此每个多项式必然存在系数不能被 [公式] 整除。不妨假定 [公式] 不能被 [公式] 整除的最高次系数是 [公式]， [公式] 不能被 [公式] 整除的最高次系数是 [公式] . 则 [公式] 的 [公式] 系数为

[公式]

式中只有第一项不能被 [公式] 整除，因此整体也不能被 [公式] 整除，则更不能被 [公式] 整除，这与 [公式] 是整系数多项式矛盾，因此必然有 [公式] , 因此

[公式]

可以写成整系数多项式乘积的形式。

证明自己看吧不难

那个，，1是不是整系数多项式？

任何表达式乘1等于本身

也就是说任何整系数多项式都可以分解为 1乘本身

引理：若R是唯一分解环，那么R[x]也是唯一分解环。

若整系数多项式F能分解为几个有理系数多项式之积，那么整系数多项式的某一倍数kF有能被分解为几个多项式之积的性质。

分别考虑k与F的唯一分解，由唯一分解的性质可以得知若kF能被分解为非常数多项式之积，那么F亦然。

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