原問題：

是否存在整係數多項式能分解為幾個有理係數多項式之積而不能分解為整係數多項式之積?

前面幾位答主已經給出了主要的 argument. 但有一個小問題需要注意：非零有理數在有理數多項式環 [公式] 中是可逆元，而非零整數不一定是 [公式] 中的可逆元。例如， [公式] 在 [公式] 中是可約的，而在 [公式] 中不可約。

另一方面，這是「唯一」一種例外情況。所以為了避免這種情況，我們需要把討論範圍限制在 primitive polynomials: 即各項係數全體的最大公約數為1的多項式。這正是 Gausss Lemma 的內容：

不存在，能分解為有理係數多項式之積就一定能夠分解為整係數多項式之積。其實不僅僅是整數與有理數之間存在這個結論。甚至任何主理想整環與其商域之間均存在這個結論（其實有理數就是整數的商域），下面我們用反證法證明：如果多項式

[公式]

其中 [公式] 分別是 [公式] 次是有理係數多項式。則我們可以找到適當的整數 [公式] , 使得

[公式]

均是整係數多項式，且兩個多項式的係數的最大公約數均為 [公式] , 即係數互素。

此時有

[公式]

不妨假定 [公式] 已經是最簡分數。此時不妨再假定 [公式] 的一個素因子是 [公式] , 由於 [公式] 的係數均互素，因此每個多項式必然存在係數不能被 [公式] 整除。不妨假定 [公式] 不能被 [公式] 整除的最高次係數是 [公式]， [公式] 不能被 [公式] 整除的最高次係數是 [公式] . 則 [公式] 的 [公式] 係數為

[公式]

式中只有第一項不能被 [公式] 整除，因此整體也不能被 [公式] 整除，則更不能被 [公式] 整除，這與 [公式] 是整係數多項式矛盾，因此必然有 [公式] , 因此

[公式]

可以寫成整係數多項式乘積的形式。

證明自己看吧不難

那個，，1是不是整係數多項式？

任何表達式乘1等於本身

也就是說任何整係數多項式都可以分解為 1乘本身

引理：若R是唯一分解環，那麼R[x]也是唯一分解環。

若整係數多項式F能分解為幾個有理係數多項式之積，那麼整係數多項式的某一倍數kF有能被分解為幾個多項式之積的性質。

分別考慮k與F的唯一分解，由唯一分解的性質可以得知若kF能被分解為非常數多項式之積，那麼F亦然。

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