既然两个分数理论上来说可以无限接近，那么为什么还会出现无理数？

为什么在数轴上随便取其中一点，得到无理数的概率是 100%？
PS. 题主知道如何证明 √2（根号 2）是无理数，我也没有反对无理数的存在。那么请各位答主回答的时候就不要总是纠结这一点，麻烦从另外一个方面解释，在不失严谨性的情况下尽量通俗易懂。
再次补充：洗澡时想到的，1/2 和 1/3 要想更接近，那么可以通分（用 2 和 3，即两个分数的分母的最小公倍数去乘分母自身）使两个分数的分母变为 12，得到 6/12 和 4/12，中间就找到了一个数 5/12。以此类推，24/48 与 16/48 中间有 7 个分母是 48 的分数。以 17/48 与 18/48 为例，中间还有 70/192、71/192 等。由于自然数有无数个，那么分母就可以无限大，两个分数就能无限接近。按照这种思想，两个数中间就不可能插入一个无理数。（再次强调没有反对无理数的存在，只是这两种观点相互矛盾，有什么办法能解决这个矛盾呢？）

@Dylaaan 的回答在数学上是正确且严谨的，但并没有触及题主在直观理解时的核心问题。题主的问题在于混淆了稠密性和完备性的区别。

也就是说，题主想问的是：如何理解「任意给定一个分数和一个界，都可以找到一个与该分数的差更小的分数，但分数不能覆盖数轴」？下面我给出一个我的理解。

题主说的「两个分数能无限接近」时，其实并不是具体的两个数，而是一个接近的过程。比如说，两个有理数序列，对于任意给定的正数，两个序列里都有对应的数的差比它更小。

但是注意，这样的过程是包含一些要求的：首先，两个序列必须是有理序列，这当然没有问题；另外，两个序列必须分别是递增/减和递减/增的，但大小关系不能反转；第三个要求则是，它们之间的差必须能够任意小。

这些条件看似都很显然，但是问题就在最后一个：它们必须夹住一个有理数。也就是说，除非它们夹住了一个有理数，你才能说有理数能够覆盖数轴。因为如果它们没有夹住任何一个有理数，就说明它们中间有一个不是有理数但属于数轴的数，当然了，事实正是如此。

就用最经典的根号2举例。假设第一个序列是 ,第二个序列是，显然第一个序列递增，第二个递减，而且第二个永远大于第一个。它们的差显然可以任意小。

但你无法找到一个有理数介于这两个序列之间（唯一符合条件的数是根号2，但它不是有理数），也就是不存在一个有理数不小于第一个序列的任意数且不大于第二个序列的任意数，这就说明数轴上不止是有理数，还有有理数之外的数存在。我想这大概能解决题主的问题了。

最后稍微多说两句：上边我们所说的这些序列叫做柯西列，柯西列都是收敛的。只有空间中的所有柯西列都收敛到空间内，这个空间才叫做完备的空间。有理数不是完备的，实数是完备的。从有理数到实数有很多过渡方法，但是有一个很简单的事实：实数集合就是有理数柯西列极限点的集合。

这个问题的题目+问题描述并没有那么简单。

经过简单的分析，可以拆成三个问题。

为什么分数（或称有理数）可以无限接近？

为什么（在数轴上）会出现无理数？
为什么在数轴上任取一点，得到无理数的概率是100%？

第一个问题可以认为是有理数的性质，第二个问题则是无理数存在的必然性，第三个问题就涉及到概率论和测度论了。

一、为什么有理数之间距离可以任意小？

首先，题主所提到的「分数」也可以被称为「有理数」，这是对整数域的一个扩充。

定义1.1 形如（，，且）的数称为有理数，并称全体有理数所构成的数域为有理数域，用符号表示。

给出了有理数的定义后，我们可以证明，两个有理数之间是可以无限接近的。

为了使得语言更加严谨，我们参考极限的定义，将其写成如下形式的定理。

定理1.2 对任意，总存在，，使得

证明取，，则，，且

对任意，取，其中表示不大于的最大整数，则有

故定理1.2成立。

由以上过程可以知道，两个有理数之间的距离是可以任意小的，也即题主所说的「无限接近」。

而对于有理数而言，还有一个重要的定理，被称为有理数的稠密性。

定理1.3 对任意，，满足，总存在有理数，使得

该定理的证明需要用到的Archimedes性质，在此省略。

二、为什么会出现无理数？

我们知道，在数轴上遍布著数，其中包括有理数。

根据上面的过程，不但有理数之间的距离可以任意小，而且对于任意两个有理数，都可以在它们中间找到一个新的有理数。

看上去，数轴好像被有理数覆盖满了。

我们来看这样的情形。

在数轴上，通过原点作一个边长为的正方形，其中点落在数轴上，和与数轴垂直，。

再以为圆心，的长度为半径作圆，交数轴于点。

根据勾股定理知，。

因此，设点所对应的数轴上的数为，则其满足

我们记这个数为

根据刚刚直观的想像，数轴上的点应该都是有理数。

但我们通过这样的方法，构造出来的数轴上的点，却不是一个有理数。

定理2.1 不是有理数。

证明假设是有理数，则根据有理数的定义（也即定义1.1）知，存在，，且，使得

根据的定义过程知其满足，代入上式得

因此是的倍数，我们记，代入上式得

因此也是的倍数，进而知

矛盾，故定理2.1成立。

因此，数轴上除了有理数，还存在其他的数，我们称之为无理数。

定义2.2 数轴上不是有理数的点称为无理数，有理数和无理数统称为实数，并称全体实数所构成的数域为实数域，用符号表示。

而要给出实数的定义，便涉及到了实数理论的内容。

Dedekind采用对数轴进行分割的方式进行定义，例如，记

则是一个Dedekind分割，并且它的上确界就是。

通过给出Dedekind分割的定义，可以证明每个分割的上界对应著数轴上的每个点，也对应著实数域中的一个实数。

三、为什么在数轴上任取一点，得到无理数的概率是100%？

从直观上想，如果无理数越多，那么取到无理数的概率就会越大。

或者说，无理数所占的「长度」越大，那么取到无理数的概率就会越大。

但是怎么定义所谓无理数的「长度」呢？这便涉及到了测度论的内容。

测度的概念其实早在小学数学中就出现了。

只是当时并没有给出其严谨的定义，而是采用非常直观的方式来解释它。

例如，对于给定的一条线段，我们使用刻度尺进行测量。

通过数该线段所占的尺子的最小分度值（也即每个小格子，在最简单的刻度尺中为）的数量，就能够粗糙地读出该线段的近似长度。

假设我们有一把足够精确的刻度尺，这把尺子的最小分度值足够小，可以读出这条线段的精确的长度。

以上便是测度的建立思路，事实上，概率也是一种特殊的测度。

为了给出有理数和无理数所构成的集合所占的数轴的「长度」的大小，我们在一维情况下，引入Lebesgue零测集的概念。

而在定义Lebesgue测度之前，我们还需要引入可数集的概念。

定义3.1 设是的子集，若存在从到自然数集的双射，则称是可数集，否则称是不可数集。

事实上，若存在从从到自然数集的双射，那么中的所有元素也可以像数列一样排成一列。

根据这个定义，容易验证整数集是可数集，这是因为中的元素可以排成

同时，平面直角坐标系中的所有整点所构成的集合也是可数集，这是因为的元素可以按照下图所示方式排成一列。

进而知，有理数集也是可数集，这是因为中的所有数都可以写成两个整数的商，并且是可数集。

接下来自然会思考，实数集也是可数集吗？

定理3.2 实数集是不可数集。

证明只需要证明是不可数集即可，假设是可数集，也即中的实数可以排成一列

设是第个实数的十进位表示，考虑一个小数满足当时，有；当时，有。

因此，的第一位小数与的第一位小数不同，第二位小数与的第二位小数不同，以此类推，可以得到并不在上面的一列数中，矛盾。

故定理3.2成立。

在有了可数集的概念，并且说明了整数集、有理数集是可数集，实数集是不可数集之后，我们可以开始建立Lebesgue测度了。

以下给出了Lebesgue零测集的定义。

定义3.3 设是的子集，若对任意，存在至多可数个开区间，使得

且

其中表示区间的长度，则称集合是Lebesgue零测集。

对于定理叙述过程中的区间的长度，可以通过直观的计算得到。

设，则其长度。

同时，对于数轴上的任意一个点，对任意，考虑用开区间

覆盖它，并且注意到

因此单个数所构成的集合是Lebesgue零测集。

定理3.4 有理数集是Lebesgue零测集。

证明根据上面的过程知是可数集，将其写成其中是第个有理数，又每个集合都是Lebesgue零测集，可以用开区间覆盖它，且因此，，可以覆盖，且

因此是Lebesgue零测集，定理3.4成立。

仅仅考虑开区间内的点的话，容易知道，里面的有理数所构成的集合也是Lebesgue零测集，但是整个开区间的长度却是。

这就说明，中的无理数的测度应该是。

此时，任取中的数，取到有理数的概率，取到无理数的概率。

因此，在区间上任取一点，取到无理数的概率是。

同样地，扩展到整个数轴上，可以得知，在数轴上任取一点，取到无理数的概率也是。

到此，题目中所提到的三个问题，都做了简单的解释。

需要深入了解的话，可以去学一学实数论、测度论等相关内容。

@Dylaaan 的回答可以帮助题主解决一部分问题，但个人觉得还不够本质，因为这一系列的衍生问题实际都是来源于不熟悉实数的构造！无限接近是因为稠密性，有理数在实数R上处处稠密，出现无理数是因为有理数域Q不完备，很多有理数的柯西序列不在Q里面收敛，实数构造中很重要的一步就是把这些柯西序列的形式极限添加进去完备化！

要想真正理解这一系列的问题，关键还是在于实数到底是什么？它是如何被构造出来的！构造上面，我想Tao的《实分析》这本书就是一本非常不错的教材，首先你可以用皮亚诺公理够构出自然数N，然后添加加法逆元构造出整数Z然后根据Z上的加法和乘法运算，根据一个等价关系，构造出有理数域Q,其里面元素其实不是一个个的数，而是一个个的等价类(q,p)，比如(1，2)=(2，4)=…(n,2n)，我们把这种等价类(q,p)记为p/q,也就是我们常见的有理数的形式，的以上这些内容可以参考各种抽象代数教材，一直到有理数为止，基本用到的大部分都是代数构造，没有涉及到无穷的过程。

而回到题主的过程，何为接近?何为无限?其实接近应该是一个过程，比如(1/2，1/4，…1/2^n…)，用数学来考虑就是一个这样的有理数的序列，很容易就可以得到这样的有理数序列似乎好像最后收敛到的不是有理数，即有理数域Q好像不是完备化的，有很多有理数的柯西序列在Q里面不收敛，而构造实数最重要的一步就是来自于把这些极限添加进去，把Q完备，这个过程需要Zorns lma,到最后得到一系列的有理数的柯西序列的等价类，记住了不是一个个的序列，而是序列的等价类，就像有理数那样，我们把这样的等价类叫做实数，比如(0.9,0.99,0.999…)和(1,1，1…)就是一个等价的柯西序列，那么0.9999…和1就是同一个等价类的元素，它们就是实数1，后续的比如有理数在R上稠密，但测度是0，其实都可以从实数的构造过程中来得到，还有各种与完备性等价的什么上下确界，区间套都可以放在一起来对照理解，实数R是一个连续统，自然与离散的Q不同！