既然兩個分數理論上來說可以無限接近，那麼為什麼還會出現無理數？

為什麼在數軸上隨便取其中一點，得到無理數的概率是 100%？
PS. 題主知道如何證明 √2（根號 2）是無理數，我也沒有反對無理數的存在。那麼請各位答主回答的時候就不要總是糾結這一點，麻煩從另外一個方面解釋，在不失嚴謹性的情況下盡量通俗易懂。
再次補充：洗澡時想到的，1/2 和 1/3 要想更接近，那麼可以通分（用 2 和 3，即兩個分數的分母的最小公倍數去乘分母自身）使兩個分數的分母變為 12，得到 6/12 和 4/12，中間就找到了一個數 5/12。以此類推，24/48 與 16/48 中間有 7 個分母是 48 的分數。以 17/48 與 18/48 為例，中間還有 70/192、71/192 等。由於自然數有無數個，那麼分母就可以無限大，兩個分數就能無限接近。按照這種思想，兩個數中間就不可能插入一個無理數。（再次強調沒有反對無理數的存在，只是這兩種觀點相互矛盾，有什麼辦法能解決這個矛盾呢？）

@Dylaaan 的回答在數學上是正確且嚴謹的，但並沒有觸及題主在直觀理解時的核心問題。題主的問題在於混淆了稠密性和完備性的區別。

也就是說，題主想問的是：如何理解「任意給定一個分數和一個界，都可以找到一個與該分數的差更小的分數，但分數不能覆蓋數軸」？下面我給出一個我的理解。

題主說的「兩個分數能無限接近」時，其實並不是具體的兩個數，而是一個接近的過程。比如說，兩個有理數序列，對於任意給定的正數，兩個序列裏都有對應的數的差比它更小。

但是注意，這樣的過程是包含一些要求的：首先，兩個序列必須是有理序列，這當然沒有問題；另外，兩個序列必須分別是遞增/減和遞減/增的，但大小關係不能反轉；第三個要求則是，它們之間的差必須能夠任意小。

這些條件看似都很顯然，但是問題就在最後一個：它們必須夾住一個有理數。也就是說，除非它們夾住了一個有理數，你才能說有理數能夠覆蓋數軸。因為如果它們沒有夾住任何一個有理數，就說明它們中間有一個不是有理數但屬於數軸的數，當然了，事實正是如此。

就用最經典的根號2舉例。假設第一個序列是 ,第二個序列是，顯然第一個序列遞增，第二個遞減，而且第二個永遠大於第一個。它們的差顯然可以任意小。

但你無法找到一個有理數介於這兩個序列之間（唯一符合條件的數是根號2，但它不是有理數），也就是不存在一個有理數不小於第一個序列的任意數且不大於第二個序列的任意數，這就說明數軸上不止是有理數，還有有理數之外的數存在。我想這大概能解決題主的問題了。

最後稍微多說兩句：上邊我們所說的這些序列叫做柯西列，柯西列都是收斂的。只有空間中的所有柯西列都收斂到空間內，這個空間才叫做完備的空間。有理數不是完備的，實數是完備的。從有理數到實數有很多過渡方法，但是有一個很簡單的事實：實數集合就是有理數柯西列極限點的集合。

這個問題的題目+問題描述並沒有那麼簡單。

經過簡單的分析，可以拆成三個問題。

為什麼分數（或稱有理數）可以無限接近？

為什麼（在數軸上）會出現無理數？
為什麼在數軸上任取一點，得到無理數的概率是100%？

第一個問題可以認為是有理數的性質，第二個問題則是無理數存在的必然性，第三個問題就涉及到概率論和測度論了。

一、為什麼有理數之間距離可以任意小？

首先，題主所提到的「分數」也可以被稱為「有理數」，這是對整數域的一個擴充。

定義1.1 形如（，，且）的數稱為有理數，並稱全體有理數所構成的數域為有理數域，用符號表示。

給出了有理數的定義後，我們可以證明，兩個有理數之間是可以無限接近的。

為了使得語言更加嚴謹，我們參考極限的定義，將其寫成如下形式的定理。

定理1.2 對任意，總存在，，使得

證明取，，則，，且

對任意，取，其中表示不大於的最大整數，則有

故定理1.2成立。

由以上過程可以知道，兩個有理數之間的距離是可以任意小的，也即題主所說的「無限接近」。

而對於有理數而言，還有一個重要的定理，被稱為有理數的稠密性。

定理1.3 對任意，，滿足，總存在有理數，使得

該定理的證明需要用到的Archimedes性質，在此省略。

二、為什麼會出現無理數？

我們知道，在數軸上遍佈著數，其中包括有理數。

根據上面的過程，不但有理數之間的距離可以任意小，而且對於任意兩個有理數，都可以在它們中間找到一個新的有理數。

看上去，數軸好像被有理數覆蓋滿了。

我們來看這樣的情形。

在數軸上，通過原點作一個邊長為的正方形，其中點落在數軸上，和與數軸垂直，。

再以為圓心，的長度為半徑作圓，交數軸於點。

根據勾股定理知，。

因此，設點所對應的數軸上的數為，則其滿足

我們記這個數為

根據剛剛直觀的想像，數軸上的點應該都是有理數。

但我們通過這樣的方法，構造出來的數軸上的點，卻不是一個有理數。

定理2.1 不是有理數。

證明假設是有理數，則根據有理數的定義（也即定義1.1）知，存在，，且，使得

根據的定義過程知其滿足，代入上式得

因此是的倍數，我們記，代入上式得

因此也是的倍數，進而知

矛盾，故定理2.1成立。

因此，數軸上除了有理數，還存在其他的數，我們稱之為無理數。

定義2.2 數軸上不是有理數的點稱為無理數，有理數和無理數統稱為實數，並稱全體實數所構成的數域為實數域，用符號表示。

而要給出實數的定義，便涉及到了實數理論的內容。

Dedekind採用對數軸進行分割的方式進行定義，例如，記

則是一個Dedekind分割，並且它的上確界就是。

通過給出Dedekind分割的定義，可以證明每個分割的上界對應著數軸上的每個點，也對應著實數域中的一個實數。

三、為什麼在數軸上任取一點，得到無理數的概率是100%？

從直觀上想，如果無理數越多，那麼取到無理數的概率就會越大。

或者說，無理數所佔的「長度」越大，那麼取到無理數的概率就會越大。

但是怎麼定義所謂無理數的「長度」呢？這便涉及到了測度論的內容。

測度的概念其實早在小學數學中就出現了。

只是當時並沒有給出其嚴謹的定義，而是採用非常直觀的方式來解釋它。

例如，對於給定的一條線段，我們使用刻度尺進行測量。

通過數該線段所佔的尺子的最小分度值（也即每個小格子，在最簡單的刻度尺中為）的數量，就能夠粗糙地讀出該線段的近似長度。

假設我們有一把足夠精確的刻度尺，這把尺子的最小分度值足夠小，可以讀出這條線段的精確的長度。

以上便是測度的建立思路，事實上，概率也是一種特殊的測度。

為了給出有理數和無理數所構成的集合所佔的數軸的「長度」的大小，我們在一維情況下，引入Lebesgue零測集的概念。

而在定義Lebesgue測度之前，我們還需要引入可數集的概念。

定義3.1 設是的子集，若存在從到自然數集的雙射，則稱是可數集，否則稱是不可數集。

事實上，若存在從從到自然數集的雙射，那麼中的所有元素也可以像數列一樣排成一列。

根據這個定義，容易驗證整數集是可數集，這是因為中的元素可以排成

同時，平面直角坐標系中的所有整點所構成的集合也是可數集，這是因為的元素可以按照下圖所示方式排成一列。

進而知，有理數集也是可數集，這是因為中的所有數都可以寫成兩個整數的商，並且是可數集。

接下來自然會思考，實數集也是可數集嗎？

定理3.2 實數集是不可數集。

證明只需要證明是不可數集即可，假設是可數集，也即中的實數可以排成一列

設是第個實數的十進位表示，考慮一個小數滿足當時，有；當時，有。

因此，的第一位小數與的第一位小數不同，第二位小數與的第二位小數不同，以此類推，可以得到並不在上面的一列數中，矛盾。

故定理3.2成立。

在有了可數集的概念，並且說明瞭整數集、有理數集是可數集，實數集是不可數集之後，我們可以開始建立Lebesgue測度了。

以下給出了Lebesgue零測集的定義。

定義3.3 設是的子集，若對任意，存在至多可數個開區間，使得

且

其中表示區間的長度，則稱集合是Lebesgue零測集。

對於定理敘述過程中的區間的長度，可以通過直觀的計算得到。

設，則其長度。

同時，對於數軸上的任意一個點，對任意，考慮用開區間

覆蓋它，並且注意到

因此單個數所構成的集合是Lebesgue零測集。

定理3.4 有理數集是Lebesgue零測集。

證明根據上面的過程知是可數集，將其寫成其中是第個有理數，又每個集合都是Lebesgue零測集，可以用開區間覆蓋它，且因此，，可以覆蓋，且

因此是Lebesgue零測集，定理3.4成立。

僅僅考慮開區間內的點的話，容易知道，裡面的有理數所構成的集合也是Lebesgue零測集，但是整個開區間的長度卻是。

這就說明，中的無理數的測度應該是。

此時，任取中的數，取到有理數的概率，取到無理數的概率。

因此，在區間上任取一點，取到無理數的概率是。

同樣地，擴展到整個數軸上，可以得知，在數軸上任取一點，取到無理數的概率也是。

到此，題目中所提到的三個問題，都做了簡單的解釋。

需要深入瞭解的話，可以去學一學實數論、測度論等相關內容。

@Dylaaan 的回答可以幫助題主解決一部分問題，但個人覺得還不夠本質，因為這一系列的衍生問題實際都是來源於不熟悉實數的構造！無限接近是因為稠密性，有理數在實數R上處處稠密，出現無理數是因為有理數域Q不完備，很多有理數的柯西序列不在Q裡面收斂，實數構造中很重要的一步就是把這些柯西序列的形式極限添加進去完備化！

要想真正理解這一系列的問題，關鍵還是在於實數到底是什麼？它是如何被構造出來的！構造上面，我想Tao的《實分析》這本書就是一本非常不錯的教材，首先你可以用皮亞諾公理夠構出自然數N，然後添加加法逆元構造出整數Z然後根據Z上的加法和乘法運算，根據一個等價關係，構造出有理數域Q,其裡面元素其實不是一個個的數，而是一個個的等價類(q,p)，比如(1，2)=(2，4)=…(n,2n)，我們把這種等價類(q,p)記為p/q,也就是我們常見的有理數的形式，的以上這些內容可以參考各種抽象代數教材，一直到有理數為止，基本用到的大部分都是代數構造，沒有涉及到無窮的過程。

而回到題主的過程，何為接近?何為無限?其實接近應該是一個過程，比如(1/2，1/4，…1/2^n…)，用數學來考慮就是一個這樣的有理數的序列，很容易就可以得到這樣的有理數序列似乎好像最後收斂到的不是有理數，即有理數域Q好像不是完備化的，有很多有理數的柯西序列在Q裡面不收斂，而構造實數最重要的一步就是來自於把這些極限添加進去，把Q完備，這個過程需要Zorns lma,到最後得到一系列的有理數的柯西序列的等價類，記住了不是一個個的序列，而是序列的等價類，就像有理數那樣，我們把這樣的等價類叫做實數，比如(0.9,0.99,0.999…)和(1,1，1…)就是一個等價的柯西序列，那麼0.9999…和1就是同一個等價類的元素，它們就是實數1，後續的比如有理數在R上稠密，但測度是0，其實都可以從實數的構造過程中來得到，還有各種與完備性等價的什麼上下確界，區間套都可以放在一起來對照理解，實數R是一個連續統，自然與離散的Q不同！