能找出反例吗？

不一定。

考虑到方程 [公式] 存在实数解，其解为 [公式] ，其中W是Lambert W函数，或者说乘积对数函数（不明白的话可以简单理解为 [公式] 的反函数）。这个解没有初等的形式，写成数值的话是1.559610469462369349970388768765002993284883511843091424719...。但不论这个解等于多少，至少这个方程是存在实数解的，所以我们可以令a为这个方程的实数解，然后我们只需要证明a是无理数，就找到了一个反例。

下面我们来证明a是无理数。

证明：假设a是有理数，那么a一定可以写成一个不可约的分数，设 [公式] ，其中p,q为正整数（因为显然a&>0），且p与q互质（等价于 [公式] 不可约分）。则有：

[公式]

由于q&>0，故 [公式] ，即 [公式] ，又因为p&>0，根据幂函数 [公式] 在a&>0时的性质，容易得出 [公式] ，即p&>q。

继续整理上式可得： [公式]

显然等式右边是偶数，那么等式左边也是偶数，即 [公式] 是偶数，所以p是偶数。又因为p和q互质，所以q是奇数。

令p=2n，n为正整数，则：

[公式]

由于p&>q，故 [公式] 是2的正整数次方，是偶数，所以等式左边为偶数，而q是奇数，所以等式右边为奇数。偶数=奇数，矛盾，所以原假设不成立。即a是无理数。

所以我们找到了无理数a，使得 [公式] ，是有理数。

换行符老是出问题，不编辑了，让它去吧（

评论区 @孙恒 给出了一个更简洁的证法，感谢大佬&>.&<

因为显然 [公式] ，否则p=a，而a不是整数，矛盾。因此对于等式 [公式] ，由于p和q互质，因此 [公式] 和 [公式] 也互质，左边仍是不可约的分数，非整数；而右边是整数，矛盾。

更新一个扩展…

扩展：下面好多答主用 [公式] ， [公式] 做例子，这个例子是用来说明存在无理数的无理数次方是有理数。

但是，本题要求的指数和底数是同一个无理数，如果 [公式] 是有理数，那么 [公式] 是这个题目的一个反例，但是可以证明 [公式] 是无理数，那么 [公式] 给出的是无理数 [公式] 的幂 [公式] 是无理数的一个例子。

如果问： [公式] 是无理数，那么 [公式] 是否一定是无理数 时，可以举最上面的例子说明 [公式] 可以是有理数。

如果设定 [公式] 是不同的无理数，取 [公式] ，1761年，Lambert证明了 [公式] 都是无理数，1929年，Gelfond证明了 [公式] 是无理数，此时给出了[公式] 是不同的无理数时 [公式] 是无理数的一个例子。

——原答案：

①反例太多了…。

因为：对于所有大于 1 的有理数 [公式] ，它要么是整数 [公式] 的 [公式] 次方，要么是某个无理数 [公式] 的 [公式] 次方。

即对于下面的函数：

当 [公式] 取大于1的有理数时，自变数 [公式] 要么是整数要么是无理数。

证明参考：

http://www.matrix67.com/blog/archives/4984?

www.matrix67.com

② [公式] 是一个实超越数，从而是无理数。

注：超越数：不是整系数多项式(或有理系数多项式)的根的那些数，比如 [公式] 。实超越数一定是无理数，因为有理数 [公式] 是整系数多项式 [公式] 的根，所以有理数不是超越数。

首先需要了解一下希尔伯特第7问题：

https://www.knowpia.cn/pages/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%AC%AC%E4%B8%83%E5%95%8F%E9%A1%8C?

www.knowpia.cn

根据Gelfond-Schneider 定理：设 [公式] 和 [公式] 都是代数数，如果 [公式] 且 [公式] 且 [公式] 不是有理数，那么 [公式] 一定是超越数。

所以取 [公式] ，得到 [公式] 是无理数时， [公式] 是一个无理数的实例。

一个比较初等的反例

不一定。以下证明：存在a∈R，使a^a=2，且a是无理数。

令f(x) =x^x，易证f(x) 在（0，+∞）上连续。因为f(1) =1，f(2) =4，所以存在a∈（1，2），使f(a) =a^a=2。反设a∈Q，则a不是整数，设a=p/q，p，q∈Z，q≥2，p，q互质，则（p/q）^p=2^q，但分数不等于整数，矛盾，因此a是无理数。

为什么不考虑一下逆否命题那 建议各位大佬想一想

若a^a是有理数 则a是有理数

a^a进行质数分解 万一这个还正好是质数 那基本凉凉了

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