能找出反例嗎？

不一定。

考慮到方程 [公式] 存在實數解，其解為 [公式] ，其中W是Lambert W函數，或者說乘積對數函數（不明白的話可以簡單理解為 [公式] 的反函數）。這個解沒有初等的形式，寫成數值的話是1.559610469462369349970388768765002993284883511843091424719...。但不論這個解等於多少，至少這個方程是存在實數解的，所以我們可以令a為這個方程的實數解，然後我們只需要證明a是無理數，就找到了一個反例。

下面我們來證明a是無理數。

證明：假設a是有理數，那麼a一定可以寫成一個不可約的分數，設 [公式] ，其中p,q為正整數（因為顯然a&>0），且p與q互質（等價於 [公式] 不可約分）。則有：

[公式]

由於q&>0，故 [公式] ，即 [公式] ，又因為p&>0，根據冪函數 [公式] 在a&>0時的性質，容易得出 [公式] ，即p&>q。

繼續整理上式可得： [公式]

顯然等式右邊是偶數，那麼等式左邊也是偶數，即 [公式] 是偶數，所以p是偶數。又因為p和q互質，所以q是奇數。

令p=2n，n為正整數，則：

[公式]

由於p&>q，故 [公式] 是2的正整數次方，是偶數，所以等式左邊為偶數，而q是奇數，所以等式右邊為奇數。偶數=奇數，矛盾，所以原假設不成立。即a是無理數。

所以我們找到了無理數a，使得 [公式] ，是有理數。

換行符老是出問題，不編輯了，讓它去吧（

評論區 @孫恆 給出了一個更簡潔的證法，感謝大佬&>.&<

因為顯然 [公式] ，否則p=a，而a不是整數，矛盾。因此對於等式 [公式] ，由於p和q互質，因此 [公式] 和 [公式] 也互質，左邊仍是不可約的分數，非整數；而右邊是整數，矛盾。

更新一個擴展…

擴展：下面好多答主用 [公式] ， [公式] 做例子，這個例子是用來說明存在無理數的無理數次方是有理數。

但是，本題要求的指數和底數是同一個無理數，如果 [公式] 是有理數，那麼 [公式] 是這個題目的一個反例，但是可以證明 [公式] 是無理數，那麼 [公式] 給出的是無理數 [公式] 的冪 [公式] 是無理數的一個例子。

如果問： [公式] 是無理數，那麼 [公式] 是否一定是無理數 時，可以舉最上面的例子說明 [公式] 可以是有理數。

如果設定 [公式] 是不同的無理數，取 [公式] ，1761年，Lambert證明瞭 [公式] 都是無理數，1929年，Gelfond證明瞭 [公式] 是無理數，此時給出了[公式] 是不同的無理數時 [公式] 是無理數的一個例子。

——原答案：

①反例太多了…。

因為：對於所有大於 1 的有理數 [公式] ，它要麼是整數 [公式] 的 [公式] 次方，要麼是某個無理數 [公式] 的 [公式] 次方。

即對於下面的函數：

當 [公式] 取大於1的有理數時，自變數 [公式] 要麼是整數要麼是無理數。

證明參考：

http://www.matrix67.com/blog/archives/4984?

www.matrix67.com

② [公式] 是一個實超越數，從而是無理數。

註：超越數：不是整係數多項式(或有理係數多項式)的根的那些數，比如 [公式] 。實超越數一定是無理數，因為有理數 [公式] 是整係數多項式 [公式] 的根，所以有理數不是超越數。

首先需要了解一下希爾伯特第7問題：

https://www.knowpia.cn/pages/%E5%B8%8C%E7%88%BE%E4%BC%AF%E7%89%B9%E7%AC%AC%E4%B8%83%E5%95%8F%E9%A1%8C?

www.knowpia.cn

根據Gelfond-Schneider 定理：設 [公式] 和 [公式] 都是代數數，如果 [公式] 且 [公式] 且 [公式] 不是有理數，那麼 [公式] 一定是超越數。

所以取 [公式] ，得到 [公式] 是無理數時， [公式] 是一個無理數的實例。

一個比較初等的反例

不一定。以下證明：存在a∈R，使a^a=2，且a是無理數。

令f(x) =x^x，易證f(x) 在（0，+∞）上連續。因為f(1) =1，f(2) =4，所以存在a∈（1，2），使f(a) =a^a=2。反設a∈Q，則a不是整數，設a=p/q，p，q∈Z，q≥2，p，q互質，則（p/q）^p=2^q，但分數不等於整數，矛盾，因此a是無理數。

為什麼不考慮一下逆否命題那 建議各位大佬想一想

若a^a是有理數 則a是有理數

a^a進行質數分解 萬一這個還正好是質數 那基本涼涼了

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