分家产的数学问题，17头牛老大1/2，老二1/3，老三1/9，是什么数学原理?
这道题的解法小时候就看过，解法也记得，加一头牛，变成18头牛，二分之一是9头，三分之一是6头，九分之一是2头，加起来刚好17头填上得那头被牵走了。
我的问题是填上一头牛，是什么原理？
不添有没有什么解法？
求专业的解释。
老头有一100头牛，老大分1/200，老二分1/200。
不是整个的啊！怎么办？
邻居大爷牵来9900头，一共10000头，这下好了，本来只有半头的两个儿子一人50头。
大爷把剩下的9900头又牵走了，深藏功与名。
所以本质上不是什么整除问题，而是错误的计算方法的问题。
而我们之所以无法一眼看出这是错误的计算方法，一是因为我们的数学素养的确不行，二是因为我们把著眼点放在了整数上面。
好比格力现在要把利润拿出来一部分分红，分100亿的1%，股东们发愁了，怎么分下来都没有整数亿啊，在我们的层次，亿以下都是零钱啊！美的跑出了说，没事没事，我先给你9900亿，等你们分完，我再把9900拿走，这样你们也分完了，我也不吃亏。
最后员工一看：哎？我工资呢？我工资哪去了？
题主的问题：老头留下17头牛，遗嘱分给老大1/2，老二1/3，老三1/9，怎么分? 这道题的解法是好心人借给他们1头牛，变成18头牛，二分之一是9头，三分之一是6头，九分之一是2头，加起来刚好17头多的那头再还给好心人。
题主的困惑：填上一头牛，是什么原理？
为了避免歧义，这里严谨的重写一下遗嘱！老头有财产17头牛，把总财产的一半留给大儿子，总财产的1/3留给二儿子，总财产的1/9留给小儿子。
如果你刚刚学习分数运算，在小学奥数题看到了类似的问题，为了避免误导，请直接跳到最后去看。或者如果你觉得遗嘱的含义不是这样的，也请先跳到最后。
先揭露一下问题的实质（贪污问题，而非数学原理）
老头的财产是S（总共是离散的17头牛），他本来不想让三个儿子分完整个S的， 他还想给自己留一点
安排后事，剩下的给三个儿子按照比例(9:6:2)分掉。但是问题是他留给自己的不够一头牛的份，
儿子无法操作，除非把牛宰了不然无法准确地留下小于一头牛的份额。
实践中，儿子们本应得到的遗产是 头牛，留给老头
头牛。为了不杀掉牛，他们修改分配方案，当然得保证他们仨的比例不变，考虑把老头自留的份额扩大或者缩小。(毕竟老头满不满意不要紧，他们仨的彼此利益不能受损)
设他们获得的牛是9x，6x，2x，老头剩下的 y，那么整数方程
这里得要求，9x，6x，2x，y都是非负整数，易验证只有解(x=1，y=0)，(x=0,y=17)，后一个解这意味著根本没有继承财产，所以不考虑。
所以要求不杀牛，而且保持比例，各自得到整个的牛，他们只能瓜分老头的0.944头牛，把老头的份额减少为0。
最后的结果是三个儿子各得到9, 6, 2头牛，老头什么也没有。（但是老头本应有将近一头牛的剩余量）
,
,
,
不去看这个好心人的故事，本质上说，从不能分牛到可以分牛的矛盾，就是隐含著修改了遗嘱，三个儿子把老头的剩余量瓜分了。为什么我们不容易一眼看出来这种修改呢？因为老头的遗嘱并没有显式地声明自己的剩余量。我们容易忽略这部分的存在，这也给三个儿子的操作留下空间，他们神不知鬼不觉地分掉了老头的剩余量，而且看上去很体面。
如果没有好心人，三个儿子还是可以各自牵走9， 6， 2头牛，刚好17头不多不少。但是旁观者就很容易发现问题，
大儿子明显多拿了嘛，同理三个儿子都是多拿的。显得三个儿子贪财，有歪心思。
好心人是个演员
有了好心人借牛换牛的操作，这个过程就变得复杂了，也让三个儿子变得更体面了！所以我有理由相信，好心人不好心，是三个儿子拉来的演员，演一场狸猫换太子的好戏。
- 好心人借给他们一头牛。
- 三个儿子和老头一共用现货18头牛 ，而且四个人一共承担了1头牛的债务。
- 老大牵走了9头，老二牵走了6头，老三牵走了2头，剩下1头是老头给自己剩下的 。到这都没问题。
- 老头的1头牛被还给了好心人，三个儿子和老头的债全被消掉了。
最后的那头牛A是个复杂的牛，作为实体，它分给老头的时候，
份是老头应得的，
份是老头借的债。（三个儿子分别借债
份，四方一共借了1份）。悄悄地，三个儿子把自己的债推给了老头，自己成没事人了。这头牛A变成他们四方债务的集合体，然后牛A被还给了好心人。
这么一轮骚操作完成了不法侵占，三个儿子和老头共同借了一头牛，最后却只用老头的一头牛抵了债！然后老头的份额就不知不觉地消失了（我们本来也没意识到老头份额的存在）。
更操蛋的操作
这个方程如果不要求 y 是非负整数，只要求9x，6x，2x是非负整数的话，还有很多解嘛！比如说，按照 这组解，三个儿子可以达成协议，大儿子分得9x = 18头牛，二儿子分得6x = 12头牛，三儿子分得2x = 4头牛，现有17头牛已经可以交货（9,6,2），老头还欠他们17头牛 ！
我们也可以据此编个故事呀：
有一个好心人借了他们19头牛，他们现在有 头牛 ，大儿子牵走了
头，二儿子牵走了
头，三儿子牵走了
头，刚刚好嘛三个儿子欢欢喜喜地走了。剩下
头。那好心人的债怎么办？先把剩下的2头还给他，好心人的17头牛欠账记在老头账上，老头欠好心人的，和三个儿子无关。(这三个儿子分牛很体面，也很坑爹嘛！)
更一般的模型
基本问题
老头有遗产总量S头牛。
出让比例 ，自留比例
。
给 t 个儿子的遗产，各自占遗产总量的比例是 。
其中 ，
现在存在 ，使得
，这样直接分会遇到麻烦，怎么分牛呢？
为了好心人偷天换日的合理性，需要满足：
1，
2，
好心人来了
儿子们总可以找一个神奇的好心人，借得 头牛。（这是个正整数）
现在老头和儿子们拥有总量 头牛，一起欠债
头牛。
儿子们各自分得 头牛，（是个整数没毛病）
老头分得剩下的 头牛，（是个整数而且刚好等于债务）
然后悄悄地转移债务，用老头分得的牛还给了好心人，神不知鬼不觉地侵占了老头的财产。
完美！
构造
最后从纯数字的角度，给出一种构造的方法。（充要条件在前面的模型就给出了，但是不太好用，接下来的都不是必要条件。以下的字母都代表正整数）
1，任取一组数 （互素的话就更无脑了，2,3自动满足）
2，要求 lcm是取最小公倍数（这对于随机的一组数大概率是成立的，构造时候不用太在意，检验即可）
3，最好还要存在 使得
。
那么可以给出一张有机可乘的分牛遗嘱了：
老头共有牛 头。
t 个儿子每个人分 也就是几分之一的牛。
但是第 个儿子直接分不了，
对应也有好心人方案：
向好心人借 头牛，现在的总量
对每个儿子都是可分的，每人得到
头牛。剩余的恰
头牛被还给好心人了。
嘿嘿，这里对构造分析了这么一大堆，总有意想不到的小收获：我找到了比题目更小的一种构造。
原题目实际上是选了数组 ，得到遗产牛
头，借牛
头。
但是还可以给出数组 ，让数据更小一点。遗产牛
头，三个儿子各分得
的遗产，直接分不可行。好心人借牛
头，三个儿子分
头，剩余3头还回去，完美。
更新：
昨天下午写的回答，今天上午这个问题居然上热搜了，哈哈哈哈，谢谢诸位捧场！
从机智的评论区得到了如果只有两个儿子时候的最小构造：两头牛，老头让每个人分得 ，儿子们鸡贼地借了一头牛，然后一人分一头牵走，剩下一头还回去。
可能解释的时候用这个例子更好，最直观地反映了问题，同时数据最小容易思考。
最后
评论区反映这个遗嘱的解释可能产生误导，误人子弟就不好了嘛，所以特地补充说明：
这道题的关键在遗嘱的表述：
以上讨论的遗嘱是：老头有财产17头牛，把总财产的一半留给大儿子，总财产的1/3留给二儿子，总财产的1/9留给小儿子。
你的奥赛题中可能的遗嘱是：老头有财产17头牛，把财产按照 的比例分给三个儿子。
这两个问题是完全不一样的。
如果是占总财产的比例，那么就是我们上面一直探讨的问题，借牛分牛本质就是贪污老头的剩余财产。
如果是相互之间的比例，
那么通分可知等于9:6:2 ，那么分牛的操作是完全正确的！（这也是小学奥赛题的考点，比例的含义，通分化简）
这么久了，我回来给我的另一个回答引流了
知乎用户：既然10/3等于3.3333除不尽，那为什么一根10米的绳子却能分成三等份？?www.zhihu.com
希望这个 回答也可以给您带来更多有趣的思考。
当爹的想分给大家1/2, 1/3, 1/9。。。。
而儿子们却想按照(1/2):(1/3):(1/9)=9:6:2把所有的都分了。。。。
这个问题的核心在于，每个人都拿到了超出自己的比例部分。
在逻辑层面的解释是这样的：
我们重新阐述下这个问题，老王有三个儿子，17头牛，现在三个孩子要分家，老王打算分1/2牛给老大，再分1/3给老二，分1/9给老三，剩下1/18牛做一顿晚饭，一起喝酒庆祝孩子们独立。
机智的老大不想杀牛卖肉，他拉一头牛，凑成18头，自己牵走9头，老二牵走6头，老三牵走2头。然后把一头还回去。
老王犯了愁，说好的晚饭呢？
只能说这老头想骗三个傻儿子然后傻儿子瞎猫逮到死耗子骗了老头一把。
我要是老头，我就让大儿子拿1/19，二儿子拿1/23，小儿子拿1/29，你们去借牛吧，看有没有人借给你们。反正这几个傻儿子也不知道加起来不等于1。
我要是大儿子，我就借17头牛然后拿走二分之一，剩下的你们还债去吧。
这有数学原理简直是搞笑。。非常巧合的就是这三个分母的最小公倍数比牛的数量大1，一旦没有这个条件，你就可以准备把全村的牛借来了。
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