分家產的數學問題，17頭牛老大1/2，老二1/3，老三1/9，是什麼數學原理?
這道題的解法小時候就看過，解法也記得，加一頭牛，變成18頭牛，二分之一是9頭，三分之一是6頭，九分之一是2頭，加起來剛好17頭填上得那頭被牽走了。
我的問題是填上一頭牛，是什麼原理？
不添有沒有什麼解法？
求專業的解釋。
老頭有一100頭牛，老大分1/200，老二分1/200。
不是整個的啊！怎麼辦？
鄰居大爺牽來9900頭，一共10000頭，這下好了，本來只有半頭的兩個兒子一人50頭。
大爺把剩下的9900頭又牽走了，深藏功與名。
所以本質上不是什麼整除問題，而是錯誤的計算方法的問題。
而我們之所以無法一眼看出這是錯誤的計算方法，一是因為我們的數學素養的確不行，二是因為我們把著眼點放在了整數上面。
好比格力現在要把利潤拿出來一部分分紅，分100億的1%，股東們發愁了，怎麼分下來都沒有整數億啊，在我們的層次，億以下都是零錢啊！美的跑出了說，沒事沒事，我先給你9900億，等你們分完，我再把9900拿走，這樣你們也分完了，我也不喫虧。
最後員工一看：哎？我工資呢？我工資哪去了？
題主的問題：老頭留下17頭牛，遺囑分給老大1/2，老二1/3，老三1/9，怎麼分? 這道題的解法是好心人借給他們1頭牛，變成18頭牛，二分之一是9頭，三分之一是6頭，九分之一是2頭，加起來剛好17頭多的那頭再還給好心人。
題主的困惑：填上一頭牛，是什麼原理？
為了避免歧義，這裡嚴謹的重寫一下遺囑！老頭有財產17頭牛，把總財產的一半留給大兒子，總財產的1/3留給二兒子，總財產的1/9留給小兒子。
如果你剛剛學習分數運算，在小學奧數題看到了類似的問題，為了避免誤導，請直接跳到最後去看。或者如果你覺得遺囑的含義不是這樣的，也請先跳到最後。
先揭露一下問題的實質（貪污問題，而非數學原理）
老頭的財產是S（總共是離散的17頭牛），他本來不想讓三個兒子分完整個S的， 他還想給自己留一點
安排後事，剩下的給三個兒子按照比例(9:6:2)分掉。但是問題是他留給自己的不夠一頭牛的份，
兒子無法操作，除非把牛宰了不然無法準確地留下小於一頭牛的份額。
實踐中，兒子們本應得到的遺產是 頭牛，留給老頭
頭牛。為了不殺掉牛，他們修改分配方案，當然得保證他們仨的比例不變，考慮把老頭自留的份額擴大或者縮小。(畢竟老頭滿不滿意不要緊，他們仨的彼此利益不能受損)
設他們獲得的牛是9x，6x，2x，老頭剩下的 y，那麼整數方程
這裡得要求，9x，6x，2x，y都是非負整數，易驗證只有解(x=1，y=0)，(x=0,y=17)，後一個解這意味著根本沒有繼承財產，所以不考慮。
所以要求不殺牛，而且保持比例，各自得到整個的牛，他們只能瓜分老頭的0.944頭牛，把老頭的份額減少為0。
最後的結果是三個兒子各得到9, 6, 2頭牛，老頭什麼也沒有。（但是老頭本應有將近一頭牛的剩餘量）
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不去看這個好心人的故事，本質上說，從不能分牛到可以分牛的矛盾，就是隱含著修改了遺囑，三個兒子把老頭的剩餘量瓜分了。為什麼我們不容易一眼看出來這種修改呢？因為老頭的遺囑並沒有顯式地聲明自己的剩餘量。我們容易忽略這部分的存在，這也給三個兒子的操作留下空間，他們神不知鬼不覺地分掉了老頭的剩餘量，而且看上去很體面。
如果沒有好心人，三個兒子還是可以各自牽走9， 6， 2頭牛，剛好17頭不多不少。但是旁觀者就很容易發現問題，
大兒子明顯多拿了嘛，同理三個兒子都是多拿的。顯得三個兒子貪財，有歪心思。
好心人是個演員
有了好心人借牛換牛的操作，這個過程就變得複雜了，也讓三個兒子變得更體面了！所以我有理由相信，好心人不好心，是三個兒子拉來的演員，演一場狸貓換太子的好戲。
- 好心人借給他們一頭牛。
- 三個兒子和老頭一共用現貨18頭牛 ，而且四個人一共承擔了1頭牛的債務。
- 老大牽走了9頭，老二牽走了6頭，老三牽走了2頭，剩下1頭是老頭給自己剩下的 。到這都沒問題。
- 老頭的1頭牛被還給了好心人，三個兒子和老頭的債全被消掉了。
最後的那頭牛A是個複雜的牛，作為實體，它分給老頭的時候，
份是老頭應得的，
份是老頭借的債。（三個兒子分別借債
份，四方一共借了1份）。悄悄地，三個兒子把自己的債推給了老頭，自己成沒事人了。這頭牛A變成他們四方債務的集合體，然後牛A被還給了好心人。
這麼一輪騷操作完成了不法侵佔，三個兒子和老頭共同借了一頭牛，最後卻只用老頭的一頭牛抵了債！然後老頭的份額就不知不覺地消失了（我們本來也沒意識到老頭份額的存在）。
更操蛋的操作
這個方程如果不要求 y 是非負整數，只要求9x，6x，2x是非負整數的話，還有很多解嘛！比如說，按照 這組解，三個兒子可以達成協議，大兒子分得9x = 18頭牛，二兒子分得6x = 12頭牛，三兒子分得2x = 4頭牛，現有17頭牛已經可以交貨（9,6,2），老頭還欠他們17頭牛 ！
我們也可以據此編個故事呀：
有一個好心人借了他們19頭牛，他們現在有 頭牛 ，大兒子牽走了
頭，二兒子牽走了
頭，三兒子牽走了
頭，剛剛好嘛三個兒子歡歡喜喜地走了。剩下
頭。那好心人的債怎麼辦？先把剩下的2頭還給他，好心人的17頭牛欠賬記在老頭賬上，老頭欠好心人的，和三個兒子無關。(這三個兒子分牛很體面，也很坑爹嘛！)
更一般的模型
基本問題
老頭有遺產總量S頭牛。
出讓比例 ，自留比例
。
給 t 個兒子的遺產，各自佔遺產總量的比例是 。
其中 ，
現在存在 ，使得
，這樣直接分會遇到麻煩，怎麼分牛呢？
為了好心人偷天換日的合理性，需要滿足：
1，
2，
好心人來了
兒子們總可以找一個神奇的好心人，借得 頭牛。（這是個正整數）
現在老頭和兒子們擁有總量 頭牛，一起欠債
頭牛。
兒子們各自分得 頭牛，（是個整數沒毛病）
老頭分得剩下的 頭牛，（是個整數而且剛好等於債務）
然後悄悄地轉移債務，用老頭分得的牛還給了好心人，神不知鬼不覺地侵佔了老頭的財產。
完美！
構造
最後從純數字的角度，給出一種構造的方法。（充要條件在前面的模型就給出了，但是不太好用，接下來的都不是必要條件。以下的字母都代表正整數）
1，任取一組數 （互素的話就更無腦了，2,3自動滿足）
2，要求 lcm是取最小公倍數（這對於隨機的一組數大概率是成立的，構造時候不用太在意，檢驗即可）
3，最好還要存在 使得
。
那麼可以給出一張有機可乘的分牛遺囑了：
老頭共有牛 頭。
t 個兒子每個人分 也就是幾分之一的牛。
但是第 個兒子直接分不了，
對應也有好心人方案：
向好心人借 頭牛，現在的總量
對每個兒子都是可分的，每人得到
頭牛。剩餘的恰
頭牛被還給好心人了。
嘿嘿，這裡對構造分析了這麼一大堆，總有意想不到的小收穫：我找到了比題目更小的一種構造。
原題目實際上是選了數組 ，得到遺產牛
頭，借牛
頭。
但是還可以給出數組 ，讓數據更小一點。遺產牛
頭，三個兒子各分得
的遺產，直接分不可行。好心人借牛
頭，三個兒子分
頭，剩餘3頭還回去，完美。
更新：
昨天下午寫的回答，今天上午這個問題居然上熱搜了，哈哈哈哈，謝謝諸位捧場！
從機智的評論區得到了如果只有兩個兒子時候的最小構造：兩頭牛，老頭讓每個人分得 ，兒子們雞賊地借了一頭牛，然後一人分一頭牽走，剩下一頭還回去。
可能解釋的時候用這個例子更好，最直觀地反映了問題，同時數據最小容易思考。
最後
評論區反映這個遺囑的解釋可能產生誤導，誤人子弟就不好了嘛，所以特地補充說明：
這道題的關鍵在遺囑的表述：
以上討論的遺囑是：老頭有財產17頭牛，把總財產的一半留給大兒子，總財產的1/3留給二兒子，總財產的1/9留給小兒子。
你的奧賽題中可能的遺囑是：老頭有財產17頭牛，把財產按照 的比例分給三個兒子。
這兩個問題是完全不一樣的。
如果是佔總財產的比例，那麼就是我們上面一直探討的問題，借牛分牛本質就是貪污老頭的剩餘財產。
如果是相互之間的比例，
那麼通分可知等於9:6:2 ，那麼分牛的操作是完全正確的！（這也是小學奧賽題的考點，比例的含義，通分化簡）
這麼久了，我回來給我的另一個回答引流了
知乎用戶：既然10/3等於3.3333除不盡，那為什麼一根10米的繩子卻能分成三等份？?www.zhihu.com
希望這個 回答也可以給您帶來更多有趣的思考。
當爹的想分給大家1/2, 1/3, 1/9。。。。
而兒子們卻想按照(1/2):(1/3):(1/9)=9:6:2把所有的都分了。。。。
這個問題的核心在於，每個人都拿到了超出自己的比例部分。
在邏輯層面的解釋是這樣的：
我們重新闡述下這個問題，老王有三個兒子，17頭牛，現在三個孩子要分家，老王打算分1/2牛給老大，再分1/3給老二，分1/9給老三，剩下1/18牛做一頓晚飯，一起喝酒慶祝孩子們獨立。
機智的老大不想殺牛賣肉，他拉一頭牛，湊成18頭，自己牽走9頭，老二牽走6頭，老三牽走2頭。然後把一頭還回去。
老王犯了愁，說好的晚飯呢？
只能說這老頭想騙三個傻兒子然後傻兒子瞎貓逮到死耗子騙了老頭一把。
我要是老頭，我就讓大兒子拿1/19，二兒子拿1/23，小兒子拿1/29，你們去借牛吧，看有沒有人借給你們。反正這幾個傻兒子也不知道加起來不等於1。
我要是大兒子，我就借17頭牛然後拿走二分之一，剩下的你們還債去吧。
這有數學原理簡直是搞笑。。非常巧合的就是這三個分母的最小公倍數比牛的數量大1，一旦沒有這個條件，你就可以準備把全村的牛借來了。
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