事实上可以证明，我们甚至无法在方格纸上画出一个顶点都在格点上且含有30度角的任意三角形（而不止是直角三角形）。

以30度角所在的顶点为原点，另外两个顶点对应的辐角的正切值都是有理数（若其中一个为正/负无穷，只需将整个三角形以原点为中心旋转90度），于是由和角公式可知，对应辐角的差的正切值也只能是有理数，但30度对应的正切值是无理数，矛盾。

不能. 实际上我们有更加普遍的命题: 一个三角形能在方格纸上通过连接格点画出的充要条件是它具有两个正切值为有理数的内角.

充分性: 设它的两个内角的正切值分别为 [公式] 和 [公式], 则只需要连接 [公式], [公式],[公式] 三点即可获得所求三角形.

必要性: 因为一个三角形中至多有一个直角, 所以一个三角形中至少有两个角的正切值是存在的. 不妨设 [公式] 和 [公式] 存在. 则有

[公式],

[公式]

均为有理数.

算方程组

即可.

算出来无解, 所以不存在

只要含有角度正切值是无理数时，都一定画不出来的证明：

顶点在格点上的必要条件是各顶点坐标都是有理向量（定义为横纵分量都是有理数的向量）。

那么三边向量作为顶点坐标的差向量，也都是有理向量。

由短直角边向量到长直角边向量之间的变换是两个线性变换的叠加：（一）旋转九十度，（二）放缩为原来的某锐角正切倍。其中第一个变换等于左乘一个元素由零和正负一构成的反对角矩阵，乘完之后还是有理向量。而第二个变换把横纵分量都乘上那个锐角的正切值，当正切值为无理数时，例如根号三，就把任何有理向量变换到非有理向量，与最终产物长直角边是有理向量相矛盾。

假设平面坐标系上存在一个30°角的三角形AOB，∠AOB为30°，O为坐标原点A、B两点的坐标值为整数。

简证易得，直线OA、OB的斜率 [公式] 、 [公式]是理数。

又有夹角公式可知：

[公式]

显然，有理数[公式] 、 [公式] 经由四则运算，不可能等于无理数 [公式] 。

所以，平面坐标系上不存在一个有30°角的三角形，其三个顶点的坐标都是整数。

「方」格这种说法，其指的不一定是正方形的格子，也可以是矩形的啊。至少我们在日常生活中，常常会把矩形的物体说成是方形的。所以，只需要把方格纸的格子画成长边与宽边的比例是 [公式] :1的矩形，在一张这样的格子纸上画出一个顶点都在格点上的直角三角形是再轻松不过的了。

我们经过平移把这个直角三角形的顶点移动到原点(0,0)处，设另外两点中距离距原点较近点的坐标是 [公式] ( [公式] 都是整数），那么较远点的坐标是 [公式] 或者[公式]，但是 [公式] 都不是整数，所以较远点肯定不会落在格点上。

抖个机灵，当相邻格点间距离无限趋近于零时。

显然不行，因为格点三角形面积可以由一个矩形减去三个三角形得到(割补法)，而这四个面积均为有理数，那么格点三角形面积必为有理数。

而30°三角形S 为 根号3/2 ×a2，其中a2为有理数，则该面积为无理数，若能作出来则矛盾，故做不出来。

先画一个你需要的三角形

然后再画格子

依据：宏观与微观存在差距

1，现有的方格纸很难论证每个格子都恰好为正方形

2，你只需要找到那个误差小于方格纸的线宽的值即可

特殊的：

如果你这个方格纸的格线足够宽，且你用来画三角形的笔的笔迹足够细，你这个三角形的三个顶点甚至可以在同一个格点上

你很难否认他确实是一张方格纸

看看这个边线的宽度哦，足够画好几个小三角形了

难点：

你手画30°角也未必是真正的30°啊

当然，如果方框的边长是dl的话。

哈哈，不能，以前我蹲厕所的时候也想过能不能在方格纸上画等边三角形，跟这个类似

画不出，你这个三角形不就是30 60 90的直角三角形么?可以转化成画一个两条直角边成1比根号3的三角形。

格子纸上的所有点组成的线段都不可能符合1：根号3的关系，所以画不出来

难道你们不能画出一条直角边为3，斜边为6的直角三角形? 方格纸是提供不了直角还是提供不了一个单位的长度?

含有30度角的直角三角形

三边比例为1： [公式] :2

可知这个三角形里至少有一条边为无理数

所以它不可能把三个点都画在格点上。

不可能。

有理数集对欧几里得度量不具有完备性。

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