事實上可以證明，我們甚至無法在方格紙上畫出一個頂點都在格點上且含有30度角的任意三角形（而不止是直角三角形）。

以30度角所在的頂點為原點，另外兩個頂點對應的輻角的正切值都是有理數（若其中一個為正/負無窮，只需將整個三角形以原點為中心旋轉90度），於是由和角公式可知，對應輻角的差的正切值也只能是有理數，但30度對應的正切值是無理數，矛盾。

不能. 實際上我們有更加普遍的命題: 一個三角形能在方格紙上通過連接格點畫出的充要條件是它具有兩個正切值為有理數的內角.

充分性: 設它的兩個內角的正切值分別為 [公式] 和 [公式], 則只需要連接 [公式], [公式],[公式] 三點即可獲得所求三角形.

必要性: 因為一個三角形中至多有一個直角, 所以一個三角形中至少有兩個角的正切值是存在的. 不妨設 [公式] 和 [公式] 存在. 則有

[公式],

[公式]

均為有理數.

算方程組

即可.

算出來無解, 所以不存在

只要含有角度正切值是無理數時，都一定畫不出來的證明：

頂點在格點上的必要條件是各頂點坐標都是有理向量（定義為橫縱分量都是有理數的向量）。

那麼三邊向量作為頂點坐標的差向量，也都是有理向量。

由短直角邊向量到長直角邊向量之間的變換是兩個線性變換的疊加：（一）旋轉九十度，（二）放縮為原來的某銳角正切倍。其中第一個變換等於左乘一個元素由零和正負一構成的反對角矩陣，乘完之後還是有理向量。而第二個變換把橫縱分量都乘上那個銳角的正切值，當正切值為無理數時，例如根號三，就把任何有理向量變換到非有理向量，與最終產物長直角邊是有理向量相矛盾。

假設平面坐標繫上存在一個30°角的三角形AOB，∠AOB為30°，O為坐標原點A、B兩點的坐標值為整數。

簡證易得，直線OA、OB的斜率 [公式] 、 [公式]是理數。

又有夾角公式可知：

[公式]

顯然，有理數[公式] 、 [公式] 經由四則運算，不可能等於無理數 [公式] 。

所以，平面坐標繫上不存在一個有30°角的三角形，其三個頂點的坐標都是整數。

「方」格這種說法，其指的不一定是正方形的格子，也可以是矩形的啊。至少我們在日常生活中，常常會把矩形的物體說成是方形的。所以，只需要把方格紙的格子畫成長邊與寬邊的比例是 [公式] :1的矩形，在一張這樣的格子紙上畫出一個頂點都在格點上的直角三角形是再輕鬆不過的了。

我們經過平移把這個直角三角形的頂點移動到原點(0,0)處，設另外兩點中距離距原點較近點的坐標是 [公式] ( [公式] 都是整數），那麼較遠點的坐標是 [公式] 或者[公式]，但是 [公式] 都不是整數，所以較遠點肯定不會落在格點上。

抖個機靈，當相鄰格點間距離無限趨近於零時。

顯然不行，因為格點三角形面積可以由一個矩形減去三個三角形得到(割補法)，而這四個面積均為有理數，那麼格點三角形面積必為有理數。

而30°三角形S 為 根號3/2 ×a2，其中a2為有理數，則該面積為無理數，若能作出來則矛盾，故做不出來。

先畫一個你需要的三角形

然後再畫格子

依據：宏觀與微觀存在差距

1，現有的方格紙很難論證每個格子都恰好為正方形

2，你只需要找到那個誤差小於方格紙的線寬的值即可

特殊的：

如果你這個方格紙的格線足夠寬，且你用來畫三角形的筆的筆跡足夠細，你這個三角形的三個頂點甚至可以在同一個格點上

你很難否認他確實是一張方格紙

看看這個邊線的寬度哦，足夠畫好幾個小三角形了

難點：

你手畫30°角也未必是真正的30°啊

當然，如果方框的邊長是dl的話。

哈哈，不能，以前我蹲廁所的時候也想過能不能在方格紙上畫等邊三角形，跟這個類似

畫不出，你這個三角形不就是30 60 90的直角三角形麼?可以轉化成畫一個兩條直角邊成1比根號3的三角形。

格子紙上的所有點組成的線段都不可能符合1：根號3的關係，所以畫不出來

難道你們不能畫出一條直角邊為3，斜邊為6的直角三角形? 方格紙是提供不了直角還是提供不了一個單位的長度?

含有30度角的直角三角形

三邊比例為1： [公式] :2

可知這個三角形裏至少有一條邊為無理數

所以它不可能把三個點都畫在格點上。

不可能。

有理數集對歐幾裏得度量不具有完備性。

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