为什么规定空集是任何集合的子集,这样在数学上有什么意义?
考虑子集的定义,若 ,有 成立,那么 ;把它转化为逆否命题,等价形式为:若 ,应 ,使得 。
那么对于空集来说,根本不存在 ,那么后面的 成立就是无法反驳的,因为你找不到不属于 的 。这个有点像什么呢?有点像逻辑里面的「若 则 」,设这个命题是 ,如果 为假,那么命题 总为真。
解释到这儿应该就能接受了。但依然有人反驳「虽然我找不到不属于 的 ,但我也找不到属于 的 ,凭什么说它成立」。那么解释一下这样的好处:首先集合 要么含于 ,要么不含于 。如果认为 不含于其他集合,那么 是否含于 呢?如果 ,那么当然也可以用上面的理由反驳;如果 ,那就难办了:集合相等的定义就是 且 ,那 ,难道 吗?这种定义会带来种种特例甚至矛盾,不是好的定义。
实际上我认为空集是任何集合的子集这一点,不是规定来的,是子集定义很自然的产物。不过可能为了明确,还需要规定一下。
就举个最直观的,倘若空集也是 的子集,而 的基数为 n ,那么 的子集的数量才恰好的可以表达为
准确的说,我们并不是规定了空集是任何集合的子集。
我们规定的只是「包含于」的定义。
A 包含于 B 当且仅当 任意a∈A,都有a∈B
根据这个定义我们可以证明,空集包含于任何集合。所以我们才说空集是任何集合的子集。
这件事并不是规定的,而是自然成立的。
设 是集合, 表示空集。
「 」等价于「若 则 」等价于「若 则 」,这当然是成立的,因为空集不包含任何元素。
当然是大家都觉得这样规定很合理呀,难道你不觉得吗?
这样的一个好处是可以使 A是B的子集 等价于 B补是A补的子集
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