考虑子集的定义,若 [公式] ,有 [公式] 成立,那么 [公式] ;把它转化为逆否命题,等价形式为:若 [公式] ,应 [公式] ,使得 [公式]

那么对于空集来说,根本不存在 [公式] ,那么后面的 [公式] 成立就是无法反驳的,因为你找不到不属于 [公式][公式] 。这个有点像什么呢?有点像逻辑里面的「若 [公式][公式] 」,设这个命题是 [公式] ,如果 [公式] 为假,那么命题 [公式] 总为真。

解释到这儿应该就能接受了。但依然有人反驳「虽然我找不到不属于 [公式][公式] ,但我也找不到属于 [公式][公式] ,凭什么说它成立」。那么解释一下这样的好处:首先集合 [公式] 要么含于 [公式] ,要么不含于 [公式] 。如果认为 [公式] 不含于其他集合,那么 [公式] 是否含于 [公式] 呢?如果 [公式] ,那么当然也可以用上面的理由反驳;如果 [公式] ,那就难办了:集合相等的定义就是 [公式][公式] ,那 [公式] ,难道 [公式] 吗?这种定义会带来种种特例甚至矛盾,不是好的定义。

实际上我认为空集是任何集合的子集这一点,不是规定来的,是子集定义很自然的产物。不过可能为了明确,还需要规定一下。


就举个最直观的,倘若空集也是 [公式] 的子集,而 [公式] 的基数为 n ,那么 [公式] 的子集的数量才恰好的可以表达为 [公式]


准确的说,我们并不是规定了空集是任何集合的子集。

我们规定的只是「包含于」的定义。

A 包含于 B 当且仅当 任意a∈A,都有a∈B

根据这个定义我们可以证明,空集包含于任何集合。所以我们才说空集是任何集合的子集。


这件事并不是规定的,而是自然成立的。

[公式] 是集合, [公式] 表示空集。

[公式] 」等价于「若 [公式][公式] 」等价于「若 [公式][公式] 」,这当然是成立的,因为空集不包含任何元素。


[公式]


当然是大家都觉得这样规定很合理呀,难道你不觉得吗?


这样的一个好处是可以使 A是B的子集 等价于 B补是A补的子集


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