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"Give yourself an epsilon of room. " Terence Tao

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借著这篇回答复习一下以前的笔记。

定理（Integral Doubling Inequality，Garofalo Lin，1986）：设 是完备非紧的黎曼流形，对任意 ，存在 ，使得对任意 上的调和函数 ，均有

这里 为常数。

这个不等式的一个非常强大的应用，就是用它可以很快地证明调和函数的 Unique Continuation Property。

定理（Unique Continuation Property）：设 是完备非紧的黎曼流形， 是连通的开子集， 是 上的调和函数。假设 在 上的某个开子集恒等于 ，则 在 上恒等于 。

实际上 Nicola Garofalo 和 Fang-Hua Lin 是对更广的一类椭圆方程的解证明了这两个结论。

几年前我给同学讲这个结论的时候，他告诉我 Gilbarg Trudinger 的二阶椭圆偏微分方程书上第一章有这么一道习题：

• 习题：设 为调和函数， 为 上的开的、光滑子集。假设 在 上的函数值、外法向导数值都等于 ，那么 恒等于 。

利用 Unique Continuation Property ，可以很容易的把这个题做出来了。虽然 Gilbarg Trudinger 放在第一章的本意可能是想让我们用其他办法？不过我看书有个超级坏的习惯就是基本不会主动去做课后习题（其实就是太懒了），所以当时我也没注意到这道题哈哈哈。

为什么我会提这个习题呢，是因为这个用 Unique Continuation Property 做这个习题的相同的思路，可以用来证明 Malgrange 和 Lax 关于调和函数的一个延拓的结果，进而可以证明：

定理：设 是完备非紧的黎曼流形，则存在 上非常值的调和函数。

此外，这也是很多椭圆方程的解的延拓或者解的粘合，需要要求在边界上边值、法向导数值能接起来的缘故，因为这样才能保证接起来之后的解仍有很好的正则性。

其实仔细回忆一下，在本科复分析中我们学过：

定理：若 是区域 上的非零的全纯函数，则 的零点集在 上是孤立的。

是不是觉得它和调和函数的 Unique Continuation Property 很像！实际在欧氏空间的情形就是一回事，因为这时候调和函数是实解析的。而之前怎么证明这个零点孤立性质的呢，就是直接 Taylor 展开然后分析系数。

对于多复变数的全纯函数，情况有点不太一样，事实上：

定理：设 是 上的全纯函数，则 的零点集永远都不是孤立点集。

不过我们仍然有：

定理：设 是连通集 上的全纯函数，若 在一个 的一个正 Lebesgue 测度子集上等于零，那么 恒等于零。

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下面简要说一下 Integral Doubling Inequality 的证明思路，想法是考虑所谓的 Frequency 的有界性。

定义：设 ，假设 是定义在 上的调和函数，令

所谓的 的 Local Frequency Function 是

通过一堆计算得到关于 Local Frequency Function 的一个微分不等式，进而可以证明：

定理：对任意 ，存在 ， 连续依赖于 ，使得对任意定义在 上的调和函数 ，都有

欧氏空间的情形可以作为一个很好的数学分析的练习例子，实际上我们可以证明：

定理： 为原点时， 关于 单调递增。

Hint：印象中北大出版的、周蜀林的偏微分方程里有具体计算，虽然他写这个结论并没有交代背景。

有了 Local Frequency Function 的估计，可以证明（求导都只是关于 求的）：

若 ，则

同样地，作为一个很好的数学分析的练习例子，可以计算：

• 习题： 为坐标原点时，

在上面的不等式中，关于 从 到 积分， 则有

接下来 Integral Doubling Inequality 就很显然了。若存在 使得令 。则在前面的微分不等式中考虑从 到 积分，这里 可以证明 于是结论得证。

相信你一定会很好奇怎么用这个不等式证明调和函数的 Unique Continuation Property 。那么我们有：

• 习题：用 Integral Doubling Inequality 证明调和函数的 Unique Continuation Property。

Hint：对于任意一点 ，可以将它和函数恒等于零的开子集的一个内点用测地线 连接起来，其中 然后选取合适的 ，用反证法证明 。

（最后，十分感谢讲这门课的老师，可以说是我最喜欢的课之一了。）

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【定理】设 是从小到大排列的素数. 则

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补充一个高等代数里面的Hadamard不等式:

【定理】设 是 阶实方阵. 则

证明：可以对A作QR分解.

参考

请问下述行列式与其元素构成的不等式如何证明？?

www.zhihu.com

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代数对称性受到微小扰动，产生了三角函数。某种意义上也算是优美吧。

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我们记 为一个 -uniform hypergraph 在不包含由 个点生成 条边的结构的情况下，所能拥有的最大的超边数。那么当 时我们有

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几点说明：

• -uniform是指这个超图的每条超边都是由 个点构成的。
• o(.)是比较常见的记号，意思就是对任意的常数 ，都有 。
• 这个定理的右边最初是Szemeredi regularity lemma/removal lemma最早的应用之一，左边是著名的Behrend高维球面构造的变形得到的。
• 这个定理说明 的渐近阶的指数不是有理数。并且说明 时，禁掉一族结构的Turan问题，并不具备「紧性」，即下面这个不等式是不对的： 。至今，我们仍不知道当 时，这个「紧性」是否正确，因为我们还没找到图版本Turan指数为无理数的情况。当然，我们其实连有理数的情况也还没完全搞明白，比如这个猜想。

LXSZYX：Turan有理指数猜想?

zhuanlan.zhihu.com

• 关于目前仍有大量的猜想，核心的问题是要证明

Brown-Erdos-Sos conjecture: 对所有正整数 , ，都有

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