[公式]

"Give yourself an epsilon of room. " Terence Tao

借著這篇回答覆習一下以前的筆記。

定理（Integral Doubling Inequality，Garofalo Lin，1986）：設 [公式] 是完備非緊的黎曼流形，對任意 [公式] ，存在 [公式] ，使得對任意 [公式] 上的調和函數 [公式] ，均有

[公式]

這裡 [公式] 為常數。

這個不等式的一個非常強大的應用，就是用它可以很快地證明調和函數的 Unique Continuation Property。

定理（Unique Continuation Property）：設 [公式] 是完備非緊的黎曼流形， [公式] 是連通的開子集， [公式] 是 [公式] 上的調和函數。假設 [公式] 在 [公式] 上的某個開子集恆等於 [公式] ，則 [公式] 在 [公式] 上恆等於 [公式] 。

實際上 Nicola Garofalo 和 Fang-Hua Lin 是對更廣的一類橢圓方程的解證明瞭這兩個結論。

幾年前我給同學講這個結論的時候，他告訴我 Gilbarg Trudinger 的二階橢圓偏微分方程書上第一章有這麼一道習題：

  • 習題：設 [公式] 為調和函數， [公式] 為 [公式] 上的開的、光滑子集。假設 [公式] 在 [公式] 上的函數值、外法嚮導數值都等於 [公式] ，那麼 [公式] 恆等於 [公式]。

利用 Unique Continuation Property ，可以很容易的把這個題做出來了。雖然 Gilbarg Trudinger 放在第一章的本意可能是想讓我們用其他辦法？不過我看書有個超級壞的習慣就是基本不會主動去做課後習題（其實就是太懶了），所以當時我也沒注意到這道題哈哈哈。

為什麼我會提這個習題呢，是因為這個用 Unique Continuation Property 做這個習題的相同的思路，可以用來證明 Malgrange 和 Lax 關於調和函數的一個延拓的結果，進而可以證明：

定理：設 [公式] 是完備非緊的黎曼流形，則存在 [公式] 上非常值的調和函數。

此外，這也是很多橢圓方程的解的延拓或者解的粘合，需要要求在邊界上邊值、法嚮導數值能接起來的緣故，因為這樣才能保證接起來之後的解仍有很好的正則性。

其實仔細回憶一下，在本科複分析中我們學過：

定理：若 [公式] 是區域 [公式] 上的非零的全純函數，則 [公式] 的零點集在 [公式] 上是孤立的。

是不是覺得它和調和函數的 Unique Continuation Property 很像！實際在歐氏空間的情形就是一回事，因為這時候調和函數是實解析的。而之前怎麼證明這個零點孤立性質的呢，就是直接 Taylor 展開然後分析係數。

對於多復變數的全純函數，情況有點不太一樣，事實上：

定理：設 [公式] 是 [公式] 上的全純函數，則 [公式] 的零點集永遠都不是孤立點集。

不過我們仍然有：

定理：設 [公式] 是連通集 [公式] 上的全純函數，若 [公式] 在一個 [公式] 的一個正 Lebesgue 測度子集上等於零，那麼 [公式] 恆等於零。

下面簡要說一下 Integral Doubling Inequality 的證明思路，想法是考慮所謂的 Frequency 的有界性。

定義：設 [公式] ，假設 [公式] 是定義在 [公式] 上的調和函數，令

[公式] 所謂的 [公式] 的 Local Frequency Function 是 [公式]

通過一堆計算得到關於 Local Frequency Function 的一個微分不等式，進而可以證明：

定理：對任意 [公式] ，存在 [公式] ， [公式] 連續依賴於 [公式] ，使得對任意定義在 [公式] 上的調和函數 [公式] ，都有

[公式]

歐氏空間的情形可以作為一個很好的數學分析的練習例子，實際上我們可以證明：

定理： [公式] 為原點時， [公式] 關於 [公式] 單調遞增。

Hint：印象中北大出版的、周蜀林的偏微分方程裏有具體計算，雖然他寫這個結論並沒有交代背景。

有了 Local Frequency Function 的估計，可以證明（求導都只是關於 [公式] 求的）：

若 [公式] ，則

[公式]

同樣地，作為一個很好的數學分析的練習例子，可以計算：

  • 習題： [公式] 為坐標原點時， [公式]

在上面的不等式中，關於 [公式] 從 [公式] 到 [公式] 積分， [公式] 則有

[公式] 接下來 Integral Doubling Inequality 就很顯然了。若存在 [公式] 使得[公式]令 [公式] 。則在前面的微分不等式中考慮從 [公式] 到 [公式] 積分，這裡 [公式] 可以證明 [公式] 於是結論得證。

相信你一定會很好奇怎麼用這個不等式證明調和函數的 Unique Continuation Property 。那麼我們有：

  • 習題：用 Integral Doubling Inequality 證明調和函數的 Unique Continuation Property。

Hint：對於任意一點 [公式] ，可以將它和函數恆等於零的開子集的一個內點用測地線 [公式] 連接起來，其中 [公式] 然後選取合適的 [公式] ，用反證法證明 [公式] 。

（最後，十分感謝講這門課的老師，可以說是我最喜歡的課之一了。）

【定理】設 [公式] 是從小到大排列的素數. 則 [公式]

補充一個高等代數裡面的Hadamard不等式:

【定理】設 [公式] 是 [公式] 階實方陣. 則 [公式]

證明：可以對A作QR分解.

參考

請問下述行列式與其元素構成的不等式如何證明？?

www.zhihu.com圖標

[公式]

[公式]

代數對稱性受到微小擾動，產生了三角函數。某種意義上也算是優美吧。

我們記 [公式] 為一個 [公式] -uniform hypergraph 在不包含由 [公式] 個點生成 [公式] 條邊的結構的情況下，所能擁有的最大的超邊數。那麼當 [公式] 時我們有

[公式]

幾點說明：

  • [公式]-uniform是指這個超圖的每條超邊都是由 [公式] 個點構成的。
  • o(.)是比較常見的記號，意思就是對任意的常數 [公式] ，都有 [公式] 。
  • 這個定理的右邊最初是Szemeredi regularity lemma/removal lemma最早的應用之一，左邊是著名的Behrend高維球面構造的變形得到的。
  • 這個定理說明 [公式] 的漸近階的指數不是有理數。並且說明 [公式] 時，禁掉一族結構的Turan問題，並不具備「緊性」，即下面這個不等式是不對的： [公式] 。至今，我們仍不知道當 [公式] 時，這個「緊性」是否正確，因為我們還沒找到圖版本Turan指數為無理數的情況。當然，我們其實連有理數的情況也還沒完全搞明白，比如這個猜想。

LXSZYX：Turan有理指數猜想?

zhuanlan.zhihu.com圖標

  • 關於[公式]目前仍有大量的猜想，核心的問題是要證明

Brown-Erdos-Sos conjecture: 對所有正整數 [公式] , [公式] ，都有[公式]

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