7.5 Lebesgue 积分单调收敛定理加强版

这里，我们把单调收敛定理中几乎处处的条件进一步削弱，结论仍然成立。证明主定理之前，我们需要先证明两个引理。令为一完备测度空间。

Lemma 7.10 给定可测集合列 ${E_n}_{n in mathbb N}$ , 我们有 $forall n in mathbb N, , mu(E_n-E_{n+1})=0$ , 那么 $mu(cup_{n=1}^infty E_n)=lim_{n oinfty} mu(E_n)$

证：令 $F_n=cap_{r ge n} E_r subset E_n$ , 则 $F_n subset F_{n+1}$ , 于是由 3.1 节 Proposition 3.5 可知， $mu(cup_{n=1}^infty E_n) = lim_{n oinfty}mu(F_n)$ 。同时， $cup_{n=1}^infty F_n = cup_{n=1}^infty cap_{r ge n} E_r=liminf_{n o infty} E_n subset cup_{n=1}^infty E_n$

接下来，我们证明 $mu(cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n)=0$
$forall x in cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n$ , 那么至少对于某个 , 我们有 ; 同时 $forall k in mathbb N,,x otin F_k=cap_{r ge k} E_k$ , 于是至少 $x otin F_j=cap_{r ge j} E_j$ ; 所以存在某个 , 使得。令 $l=max{j le l < m: x in E_l }$ ，故 $x in E_l, x otin E_{l+1}$ , 即， $x in E_l-E_{l+1}$ 。所以 $(cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n) subset (E_l -E_{l+1})$ , 于是： $mu(cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n) le mu(E_l -E_{l+1})=0$ 注意到 $cup_{n=1}^n F_n subset cup_{n=1}^n E_n$ , 故 $(cup_{n=1}^n E_n - cup_{n=1}^n F_n) cup (cup_{n=1}^n E_n)=cup_{n=1}^n E_n$ 且 $(cup_{n=1}^n E_n - cup_{n=1}^n F_n) cap (cup_{n=1}^n E_n)=emptyset$ , 于是：

$mu (cup_{n=1}^n E_n)=mu (cup_{n=1}^n F_n)+mu(cup_{n=1}^n E_n - cup_{n=1}^n F_n) =mu (cup_{n=1}^n F_n) +0=mu (cup_{n=1}^n F_n)$
最后，我们来证 $lim_{n oinfty}mu(E_n)=lim_{n oinfty}mu(F_n)$ 考虑集合。 , 通过上一步类似的推理，我们内容能够找到 , 使得 $x in (E_l-E_{l+1})$ 。所以 , 那么。于是两边对 $lim_{n oinfty}mu(E_n)=lim_{n oinfty}mu(F_n)$ 取极限, 得： $mu (cup_{n=1}^infty E_n) =mu (cup_{n=1}^infty F_n) = lim_{n o infty}mu(F_n)=lim_{n o infty}mu(E_n)$ , 证毕。

Lemma 7.11 给定可测集合列 ${E_n}_{n in mathbb N}$ ，且 $forall n in mathbb N, , mu(E_n-E_{n+1})=0$ 。若是集合 $cup_{n=1}^infty E_n$ 上的简单函数 (注：根据 Definition5.13 的定义版本，简单函数是自动可测的)，那么 $lim_{n o infty}I_{E_n}(s)=I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)$

证：令 $s=sum_{i=1}^ma_ichi_{A_i}$ , 则 $I_{E_n}(s)=sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap E_n)$ 。

$lim_{n o infty}I_{E_n}(s)=lim_{n o infty}sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap E_n)=sum_{i=1}^mlim_{n o infty}a_imu(A_i cap E_n)$ (式 7.4)
注意到 $(A_i cap E_{n+1})-(A_icap E_n) subset E_{n+1}- E_{n}$ , 故 $mu((A_i cap E_{n+1})-(A_icap E_n) )=0$ 。于是由 Lemma 7.10 知， $lim_{n oinfty}mu(A_i cap E_n)=mu(cup_{n=1}^infty A_i cap E_n)=mu(A_i cap (cup_{n=1}^infty E_n))$ 。所以 (式 7.4) $= sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap (cup_{n=1}^infty E_n))=I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)$ , 证毕。

Theorem 7.12 令为非负可测函数列，且在上 $f_n le f_{n+1},,a.e.(mu)$ , 即， $forall x in E-A_n,, f_n le f_{n+1}$ , 其中。同时我们要求在上， $f=lim_{n oinfty}f_n,,a.e.(mu)$ , 其中 $A=cup_{n=1}^infty A_n$ 也是个零测集; 也就是说存在集合为一零测集，使得 $forall x in (E-A)-B=E-(A cup B), f(x)=lim_{n oinfty} f_n(x)$ 。那么： $lim_{n oinfty}int_Ef_n,dmu=int_Ef,dmu$

(注意到

是一个完备测度。)

证：因为 $f_n le f_{n+1},,a.e.(mu)$ , 所以 $forall nge 1, int_Ef_n, dmu le int_Ef_{n+1},dmu$ 。故 $L=lim_{n oinfty}int_Ef_n(x),dmu$ 存在 ( 这边的存在比较广义，有可能是无穷大) 。 $forall x in X-(A cup B), f_n(x) le lim_{n oinfty}f_n(x)=f(x)$ , 因此，。所以

注：可测，由 Proposition 5.8， $sup_if_i, inf_i f_i, limsup _{i o infty} f_i, liminf_{i o infty}f_i$ 也都可测。极限存在的集合 $E-(cup_{n=1}^infty A_n cup B) in mathcal A$ 是可测的，也是可测的.
接下来我们要证明。任取定义在上的非负简单函数，令 , 集合 $E_n={x: cs(x)le f_n(x)}$ 。注意到我们不一定有 $E_n subset E_{n+1}$ ，因为我们的条件是 $forall x in E-A_n, f_n(x) le f_{n+1}(x)$ , 故有可能在是上 $forall x in E-A_n, f_n(x) > f_{n+1}(x)$ 。但是注意到 $E_n - A_n subset E_{n+1}$ , 于是 $E_n-E_{n+1} =(E_n cap A_n)-E_{n+1} subset A_n -E_{n+1}subset A_n$ 。因为 , 又是完备测度，我们有： $mu(E_n-E_{n+1})=0$ 。注意到： $int_{E_n}cs le int_{E_n}f_n le int_E f_n$ (式 7.5)，两边同时取极限：

$clim_{n oinfty} I_{E_n}(s)=lim_{n oinfty} I_{E_n}(cs) le lim_{n oinfty}int_Ef_n$ , 由 Lemma 7.11 得：
$c I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)=clim_{n oinfty} I_{E_n}(s)le lim_{n oinfty}int_Ef_n$ , 因为是任取的，我们有： $I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)le lim_{n oinfty}int_Ef_n$ (式 7.6)现在我们来更多了解一下集合 $cup_{n=1}^infty E_n$ 。任取 $x_0 in E-(cup_{n=1}^infty E_n)$ ，那么另一方面，若上面的也满足：我们有 $f(x_0)=lim_{n oinfty}f_n(x_0)$ 这个极限存在。于是 , 我们得到了。这是不可能的，矛盾。于是： $x in E-(cup_{n=1}^infty E_n)Rightarrow x otin E-(A cup B)Rightarrow x in E cap (A cup B)$ , 也就是说： $E-(cup_{n=1}^infty E_n)subset E cap (A cup B) subset Acup B$ , 所以： $mu( E-(cup_{n=1}^infty E_n))lemu( Acup B)=0$ , 又 $cup_{n=1}^infty E_n subset E$ , 我们有： $mu(E)=mu(cup_{n=1}^infty E_n)$ 。那么， $forall D in mathcal A, mu(E cap A)=mu(cup_{n=1}^infty E_n cap A)$ ，这是因为 $mu((E cap A)-(cup_{n=1}^infty E_n cap A))lemu(E-cup_{n=1}^infty E_n) = 0$ 。所以 $I_E(s)=I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)$ , 是代入 (式 7.6)，得： $I_E(s) le lim_{n oinfty}int_Ef_n=L$ 所以是的一个上界，必然不小于最小上确界：。综上，，证毕。