7.5 Lebesgue 積分單調收斂定理加強版

這裡，我們把單調收斂定理中幾乎處處的條件進一步削弱，結論仍然成立。證明主定理之前，我們需要先證明兩個引理。令為一完備測度空間。

Lemma 7.10 給定可測集合列 ${E_n}_{n in mathbb N}$ , 我們有 $forall n in mathbb N, , mu(E_n-E_{n+1})=0$ , 那麼 $mu(cup_{n=1}^infty E_n)=lim_{n oinfty} mu(E_n)$

證：令 $F_n=cap_{r ge n} E_r subset E_n$ , 則 $F_n subset F_{n+1}$ , 於是由 3.1 節 Proposition 3.5 可知， $mu(cup_{n=1}^infty E_n) = lim_{n oinfty}mu(F_n)$ 。同時， $cup_{n=1}^infty F_n = cup_{n=1}^infty cap_{r ge n} E_r=liminf_{n o infty} E_n subset cup_{n=1}^infty E_n$

接下來，我們證明 $mu(cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n)=0$
$forall x in cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n$ , 那麼至少對於某個 , 我們有 ; 同時 $forall k in mathbb N,,x otin F_k=cap_{r ge k} E_k$ , 於是至少 $x otin F_j=cap_{r ge j} E_j$ ; 所以存在某個 , 使得。令 $l=max{j le l < m: x in E_l }$ ，故 $x in E_l, x otin E_{l+1}$ , 即， $x in E_l-E_{l+1}$ 。所以 $(cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n) subset (E_l -E_{l+1})$ , 於是： $mu(cup_{n=1}^infty E_n - cup_{n=1}^infty F_n) le mu(E_l -E_{l+1})=0$ 注意到 $cup_{n=1}^n F_n subset cup_{n=1}^n E_n$ , 故 $(cup_{n=1}^n E_n - cup_{n=1}^n F_n) cup (cup_{n=1}^n E_n)=cup_{n=1}^n E_n$ 且 $(cup_{n=1}^n E_n - cup_{n=1}^n F_n) cap (cup_{n=1}^n E_n)=emptyset$ , 於是：

$mu (cup_{n=1}^n E_n)=mu (cup_{n=1}^n F_n)+mu(cup_{n=1}^n E_n - cup_{n=1}^n F_n) =mu (cup_{n=1}^n F_n) +0=mu (cup_{n=1}^n F_n)$
最後，我們來證 $lim_{n oinfty}mu(E_n)=lim_{n oinfty}mu(F_n)$ 考慮集合。 , 通過上一步類似的推理，我們內容能夠找到 , 使得 $x in (E_l-E_{l+1})$ 。所以 , 那麼。於是兩邊對 $lim_{n oinfty}mu(E_n)=lim_{n oinfty}mu(F_n)$ 取極限, 得： $mu (cup_{n=1}^infty E_n) =mu (cup_{n=1}^infty F_n) = lim_{n o infty}mu(F_n)=lim_{n o infty}mu(E_n)$ , 證畢。

Lemma 7.11 給定可測集合列 ${E_n}_{n in mathbb N}$ ，且 $forall n in mathbb N, , mu(E_n-E_{n+1})=0$ 。若是集合 $cup_{n=1}^infty E_n$ 上的簡單函數 (註：根據 Definition5.13 的定義版本，簡單函數是自動可測的)，那麼 $lim_{n o infty}I_{E_n}(s)=I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)$

證：令 $s=sum_{i=1}^ma_ichi_{A_i}$ , 則 $I_{E_n}(s)=sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap E_n)$ 。

$lim_{n o infty}I_{E_n}(s)=lim_{n o infty}sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap E_n)=sum_{i=1}^mlim_{n o infty}a_imu(A_i cap E_n)$ (式 7.4)
注意到 $(A_i cap E_{n+1})-(A_icap E_n) subset E_{n+1}- E_{n}$ , 故 $mu((A_i cap E_{n+1})-(A_icap E_n) )=0$ 。於是由 Lemma 7.10 知， $lim_{n oinfty}mu(A_i cap E_n)=mu(cup_{n=1}^infty A_i cap E_n)=mu(A_i cap (cup_{n=1}^infty E_n))$ 。所以 (式 7.4) $= sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap (cup_{n=1}^infty E_n))=I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)$ , 證畢。

Theorem 7.12 令為非負可測函數列，且在上 $f_n le f_{n+1},,a.e.(mu)$ , 即， $forall x in E-A_n,, f_n le f_{n+1}$ , 其中。同時我們要求在上， $f=lim_{n oinfty}f_n,,a.e.(mu)$ , 其中 $A=cup_{n=1}^infty A_n$ 也是個零測集; 也就是說存在集合為一零測集，使得 $forall x in (E-A)-B=E-(A cup B), f(x)=lim_{n oinfty} f_n(x)$ 。那麼： $lim_{n oinfty}int_Ef_n,dmu=int_Ef,dmu$

(注意到

是一個完備測度。)

證：因為 $f_n le f_{n+1},,a.e.(mu)$ , 所以 $forall nge 1, int_Ef_n, dmu le int_Ef_{n+1},dmu$ 。故 $L=lim_{n oinfty}int_Ef_n(x),dmu$ 存在 ( 這邊的存在比較廣義，有可能是無窮大) 。 $forall x in X-(A cup B), f_n(x) le lim_{n oinfty}f_n(x)=f(x)$ , 因此，。所以

註：可測，由 Proposition 5.8， $sup_if_i, inf_i f_i, limsup _{i o infty} f_i, liminf_{i o infty}f_i$ 也都可測。極限存在的集合 $E-(cup_{n=1}^infty A_n cup B) in mathcal A$ 是可測的，也是可測的.
接下來我們要證明。任取定義在上的非負簡單函數，令 , 集合 $E_n={x: cs(x)le f_n(x)}$ 。注意到我們不一定有 $E_n subset E_{n+1}$ ，因為我們的條件是 $forall x in E-A_n, f_n(x) le f_{n+1}(x)$ , 故有可能在是上 $forall x in E-A_n, f_n(x) > f_{n+1}(x)$ 。但是注意到 $E_n - A_n subset E_{n+1}$ , 於是 $E_n-E_{n+1} =(E_n cap A_n)-E_{n+1} subset A_n -E_{n+1}subset A_n$ 。因為 , 又是完備測度，我們有： $mu(E_n-E_{n+1})=0$ 。注意到： $int_{E_n}cs le int_{E_n}f_n le int_E f_n$ (式 7.5)，兩邊同時取極限：

$clim_{n oinfty} I_{E_n}(s)=lim_{n oinfty} I_{E_n}(cs) le lim_{n oinfty}int_Ef_n$ , 由 Lemma 7.11 得：
$c I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)=clim_{n oinfty} I_{E_n}(s)le lim_{n oinfty}int_Ef_n$ , 因為是任取的，我們有： $I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)le lim_{n oinfty}int_Ef_n$ (式 7.6)現在我們來更多瞭解一下集合 $cup_{n=1}^infty E_n$ 。任取 $x_0 in E-(cup_{n=1}^infty E_n)$ ，那麼另一方面，若上面的也滿足：我們有 $f(x_0)=lim_{n oinfty}f_n(x_0)$ 這個極限存在。於是 , 我們得到了。這是不可能的，矛盾。於是： $x in E-(cup_{n=1}^infty E_n)Rightarrow x otin E-(A cup B)Rightarrow x in E cap (A cup B)$ , 也就是說： $E-(cup_{n=1}^infty E_n)subset E cap (A cup B) subset Acup B$ , 所以： $mu( E-(cup_{n=1}^infty E_n))lemu( Acup B)=0$ , 又 $cup_{n=1}^infty E_n subset E$ , 我們有： $mu(E)=mu(cup_{n=1}^infty E_n)$ 。那麼， $forall D in mathcal A, mu(E cap A)=mu(cup_{n=1}^infty E_n cap A)$ ，這是因為 $mu((E cap A)-(cup_{n=1}^infty E_n cap A))lemu(E-cup_{n=1}^infty E_n) = 0$ 。所以 $I_E(s)=I_{cup_{n=1}^infty E_n}(s)$ , 是代入 (式 7.6)，得： $I_E(s) le lim_{n oinfty}int_Ef_n=L$ 所以是的一個上界，必然不小於最小上確界：。綜上，，證畢。