7.2 Lebesgue 积分的线性性

记得在 6.1 节中，我们证明了 , 但同时我们也说还有待证明。7.1节有了单调收敛定理，现在我们可以来证明线性性。

Theorem 7.4 若 1) 是非负可测函数、或者 2) 是 Lebesgue-可积的，那么：

int(f+g) , dmu = int f , dmu+ int g , dmu

证：首先设为非负简单函数，令 $f=sum_{i=1}^ma_i chi_{A_i}, , g=sum_{j=1}^nb_jchi_{B_j}$ , 不失一般性的，我们可以设，分别划分了 (partition of )。于是我们有：
$f+g=sum_{i=1}^msum_{j=1}^n(a_i+b_i)chi_{A_i cap B_j}$ , 所以： $int(f+g)=sum_{i=1}^msum_{j=1}^n(a_i+b_i)mu(A_i cap B_j)$ $=sum_{i=1}^msum_{j=1}^na_imu(A_i cap B_j)+sum_{i=1}^msum_{j=1}^nb_jmu(A_i cap B_j)$

$=sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap X)+sum_{j=1}^nb_jmu(B_j cap X)=int f + int g$
接下来，我们设为非负可测函数。取非负简单函数列 , 非负简单函数列，那么也是一个非负简单函数列，且。根据单调收敛定理 Theorem 7.1, 我们有： $int(f+ g) = lim_{n o infty}int(s_n+t_n)=lim_{n oinfty}(int s_n + int t_n)=lim_{n oinfty}int s_n + lim_{n o infty}int t_n=int f+int g$ 最后，设为实值可积函数，但是在定义域上的取值可正可负。因为： , 所以也是可积的。注意到：

, 我们有: , 这里面所有的函数都是非负的，于是根据线性性： , 也就是说：
若为复值函数，把上面是实值的结论分别运用到复值的实部跟虚部即可。证毕。

Proposition 7.5 设是非负可测函数，那么 $intsum_{n=1}^infty f_n=sum_{n=1}^infty int f_n$ 。

证：令 $F_N=Sigma_{n=1}^Nf_n$ ，因为 $0 le F_n(x) uparrow Sigma_{n=1}^infty f_n(x)$ , 运用到 Theorem 7.1 跟 Theorem 7.4，我们有：

$int sum_{n=1}^infty f_n=intlim_{N o infty}sum_{n=1}^N f_n$
$=int lim_{N oinfty} F_N=lim_{N oinfty} int f_N=lim_{N oinfty} sum_{n=1}^Nint f_n=sum_{n=1}^infty int f_n$ (式 7.1)其中，式 7.1 用到了 Theorem 7.1 跟 Theorem 7.3.证毕。

注：这个定理被称为 Beppo-Levi 定理，它对也成立。

Lemma 7.6 在上连续，则在上是 Lebesgue-可积的。

证：由 1.2 节 Proposition 1.2，在是一致连续的，也就是说。令 ${I_n}_{n=1}^N$ 是的一个有限分割 (partition)，其中每个都是一个区间且广义直径 $diam I_n=sup{d(x,y): x, y in I_n} < delta$ 。任取，令 $y_n=sup_{x in I_n}f(x), x_n=inf_{x in I_n}f(x)$ ； $g_{varepsilon}(x)=sum_nx_nchi_{I_n}, h_{varepsilon}(x)=sum_ny_nchi_{I_n}$ 。于是 $g_{varepsilon} le f le h_{varepsilon}$ , 且保证了 $|h_{varepsilon}-g_{varepsilon}| < varepsilon$ 。因为 $int_a^b h_{varepsilon}$ 随著增加而递减，且有下界 , 所以它的极限存在，收敛到 $L=inf_{varepsilon > 0}int_a^bh_{varepsilon}$ 。对于任一非负简单函数，我们都有 $int_a^bs le int_a^b h_{varepsilon}$ , 又是最大下确界，所以: , 于是 $int_a^b f = sup_{s le f} int_a^b s le L$ 。证毕。

注：事实上。注意到 $igg| int_a^b h_{varepsilon}-int_a^b g_{varepsilon}igg| = igg |int_a^b(h_{varepsilon} -g_{varepsilon})igg|le int_a^b|h_{varepsilon}-g_{varepsilon}| < varepsilon(b-a)$ ，这里我们用到了简单函数积分的线性性 (所以只需要 Theorem 7.4 的第一部分) 和 Proposition 6.4。因为是任意的，所以我们只能有 $sup_{varepsilon >0} int_a^b g_{varepsilon} = int_a^b f=inf_{varepsilon >0} int_a^b h_{varepsilon} = L$

最后给一个例子，用到了 Proposition 7.5：

Example 7.7 求证： $int_0^1frac{x^{p-1}}{1+x^q} =sum_{n=0}^inftyigg(frac{1}{p+2nq}-frac{1}{p+(2n+1)q}igg)$ 注: 上面等式右边的级数不是绝对收敛的。证： $frac{x^{p-1}}{(1+x^q)}=x^{p-1}cdot sum_{n=1}^infty (-1)^nx^{nq}$ ，这个等式右边的级数是绝对收敛的，故我们可以重新排序 (re-order) 级数里面的相加项： $forall x in [0,1], f_n(x)=x^{p-1}cdot (x^{2nq}-x^{(2n+1)q}) ge 0$ 。注意到

是连续函数，所以是 Lebesgue-可积的 (Lemma 7.6)。于是： $int_0^1frac{x^{p-1}}{1+x^q} =sum_{n=0}^infty int_0^1igg(x^{p-1}(x^{2nq} -x^{(2n+1)q})igg)$ $=sum_{n=1}^inftyigg(frac{x^{p+2nq}}{p+2nq}-frac{x^{p+(2n+1)q}}{p+(2n+1)q}igg)igg|_0^1=sum_{n=0}^inftyigg(frac{1}{p+2nq}-frac{1}{p+(2n+1)q}igg)$
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