7.2 Lebesgue 積分的線性性

記得在 6.1 節中，我們證明瞭 , 但同時我們也說還有待證明。7.1節有了單調收斂定理，現在我們可以來證明線性性。

Theorem 7.4 若 1) 是非負可測函數、或者 2) 是 Lebesgue-可積的，那麼：

int(f+g) , dmu = int f , dmu+ int g , dmu

證：首先設為非負簡單函數，令 $f=sum_{i=1}^ma_i chi_{A_i}, , g=sum_{j=1}^nb_jchi_{B_j}$ , 不失一般性的，我們可以設，分別劃分了 (partition of )。於是我們有：
$f+g=sum_{i=1}^msum_{j=1}^n(a_i+b_i)chi_{A_i cap B_j}$ , 所以： $int(f+g)=sum_{i=1}^msum_{j=1}^n(a_i+b_i)mu(A_i cap B_j)$ $=sum_{i=1}^msum_{j=1}^na_imu(A_i cap B_j)+sum_{i=1}^msum_{j=1}^nb_jmu(A_i cap B_j)$

$=sum_{i=1}^ma_imu(A_i cap X)+sum_{j=1}^nb_jmu(B_j cap X)=int f + int g$
接下來，我們設為非負可測函數。取非負簡單函數列 , 非負簡單函數列，那麼也是一個非負簡單函數列，且。根據單調收斂定理 Theorem 7.1, 我們有： $int(f+ g) = lim_{n o infty}int(s_n+t_n)=lim_{n oinfty}(int s_n + int t_n)=lim_{n oinfty}int s_n + lim_{n o infty}int t_n=int f+int g$ 最後，設為實值可積函數，但是在定義域上的取值可正可負。因為： , 所以也是可積的。注意到：

, 我們有: , 這裡面所有的函數都是非負的，於是根據線性性： , 也就是說：
若為復值函數，把上面是實值的結論分別運用到復值的實部跟虛部即可。證畢。

Proposition 7.5 設是非負可測函數，那麼 $intsum_{n=1}^infty f_n=sum_{n=1}^infty int f_n$ 。

證：令 $F_N=Sigma_{n=1}^Nf_n$ ，因為 $0 le F_n(x) uparrow Sigma_{n=1}^infty f_n(x)$ , 運用到 Theorem 7.1 跟 Theorem 7.4，我們有：

$int sum_{n=1}^infty f_n=intlim_{N o infty}sum_{n=1}^N f_n$
$=int lim_{N oinfty} F_N=lim_{N oinfty} int f_N=lim_{N oinfty} sum_{n=1}^Nint f_n=sum_{n=1}^infty int f_n$ (式 7.1)其中，式 7.1 用到了 Theorem 7.1 跟 Theorem 7.3.證畢。

註：這個定理被稱為 Beppo-Levi 定理，它對也成立。

Lemma 7.6 在上連續，則在上是 Lebesgue-可積的。

證：由 1.2 節 Proposition 1.2，在是一致連續的，也就是說。令 ${I_n}_{n=1}^N$ 是的一個有限分割 (partition)，其中每個都是一個區間且廣義直徑 $diam I_n=sup{d(x,y): x, y in I_n} < delta$ 。任取，令 $y_n=sup_{x in I_n}f(x), x_n=inf_{x in I_n}f(x)$ ； $g_{varepsilon}(x)=sum_nx_nchi_{I_n}, h_{varepsilon}(x)=sum_ny_nchi_{I_n}$ 。於是 $g_{varepsilon} le f le h_{varepsilon}$ , 且保證了 $|h_{varepsilon}-g_{varepsilon}| < varepsilon$ 。因為 $int_a^b h_{varepsilon}$ 隨著增加而遞減，且有下界 , 所以它的極限存在，收斂到 $L=inf_{varepsilon > 0}int_a^bh_{varepsilon}$ 。對於任一非負簡單函數，我們都有 $int_a^bs le int_a^b h_{varepsilon}$ , 又是最大下確界，所以: , 於是 $int_a^b f = sup_{s le f} int_a^b s le L$ 。證畢。

註：事實上。注意到 $igg| int_a^b h_{varepsilon}-int_a^b g_{varepsilon}igg| = igg |int_a^b(h_{varepsilon} -g_{varepsilon})igg|le int_a^b|h_{varepsilon}-g_{varepsilon}| < varepsilon(b-a)$ ，這裡我們用到了簡單函數積分的線性性 (所以只需要 Theorem 7.4 的第一部分) 和 Proposition 6.4。因為是任意的，所以我們只能有 $sup_{varepsilon >0} int_a^b g_{varepsilon} = int_a^b f=inf_{varepsilon >0} int_a^b h_{varepsilon} = L$

最後給一個例子，用到了 Proposition 7.5：

Example 7.7 求證： $int_0^1frac{x^{p-1}}{1+x^q} =sum_{n=0}^inftyigg(frac{1}{p+2nq}-frac{1}{p+(2n+1)q}igg)$ 注: 上面等式右邊的級數不是絕對收斂的。證： $frac{x^{p-1}}{(1+x^q)}=x^{p-1}cdot sum_{n=1}^infty (-1)^nx^{nq}$ ，這個等式右邊的級數是絕對收斂的，故我們可以重新排序 (re-order) 級數裡面的相加項： $forall x in [0,1], f_n(x)=x^{p-1}cdot (x^{2nq}-x^{(2n+1)q}) ge 0$ 。注意到

是連續函數，所以是 Lebesgue-可積的 (Lemma 7.6)。於是： $int_0^1frac{x^{p-1}}{1+x^q} =sum_{n=0}^infty int_0^1igg(x^{p-1}(x^{2nq} -x^{(2n+1)q})igg)$ $=sum_{n=1}^inftyigg(frac{x^{p+2nq}}{p+2nq}-frac{x^{p+(2n+1)q}}{p+(2n+1)q}igg)igg|_0^1=sum_{n=0}^inftyigg(frac{1}{p+2nq}-frac{1}{p+(2n+1)q}igg)$
推薦閱讀：