6.1 Lebesgue 积分的定义和简单性质

Definition 6.1 令为一测度空间，若 $s=sum_{i=1}^n a_i chi_{E_i}$ 是一个非负的可测简单函数，定义的 Lebesgue 积分如下：

$int s,dmu=sum_{i=1}^n a_i mu(E_i)$ (式 6.1)定义中如果

而

, 我们规定

。若

是非负可测函数，那么我们定义

的 Lebesgue 积分为：

int f,dmu =supigg{int, s, dmu: 0 le sle figg}

(式 6.2)

定义中为可测简单函数。

若

是可测(实函数)，令

。这里我们要求

至少有一个是有限的，定义：

最后，若

是复值函数，且

, 我们定义：

注意简单函数会有多种不同的表达方式，如： $Acap B=emptyset, , s=chi_{Acup B}=chi_A+chi_B$ 。不难看出的定义不受影响，即，若 $s=sum_{i=1}^ma_ichi_{A_i} = sum_{j=1}^nb_jchi_{B_j}$ , 则 $sum_{i=1}^ma_imu(A_i)=sum_{j=1}^nb_jmu(B_j)$ 。(注：可以令 $C_{i,j}=A_i cap B_j$ 来证明)

若是一个简单函数，那么我们还需要验证定义中的 (式 6.1) 跟 (式 6.2) 是为吻合的 (注：很容易可以确认他们是吻合的)

我们经常作这个简写：。当非常明确是哪个测度被用于 Lebesgue 积分是，我们也会简写积分为。有时候也会把积分写成或。

当我们把对于 Lebesgue 测度做积分时，我们一般就简写: , 同时定义: $int_a^bf(x) ,dx=int_{[a,b]}f(x) ,m(dx)$ 。这就无缝衔接到微积分惯用的写法了。

列举一些简单函数 Lebesgue 积分的性质，令为非负可测简单函数，记 ; 下面所涉及的所有集合均是属于的。由定义可得：

(1)

(2)

(3)

forall x in E, s(x) le t(x)Rightarrow I_E(s) le I_E(t)

(4)

F subset E, s ge 0 Rightarrow I_F(s) le I_E(s)

(5) $E_1 subset E_2 ldots, E=cup_{k=1}^infty E_k Rightarrow lim_{n o infty}I_{E_n}(s) = I_E(s)$ 注：我们有时候还会记集合 $mathcal I(f,E)={I_E(s): 0 le s le f}$ , 其中

为简单函数。

Definition 6.2 我们称是可积的 (integrable)，或者称 -可积，若是可测的且。把称为在集合上是 -可积的；有时候记作

Proposition 6.3 以下是关于一般函数 Lebesgue 积分的一些简单性质：

(1) 若

是实值可测函数,

, 且

; 那么

(2) 若

是可测、实值、可积的函数，且

; 那么

(3) 若是可积的；那么

(4) 若

, 且

是可积的；那么

(5) 若

, 则 $int_{A cup B} f = int_A f +int_B f$ (6) 若

, 则

证：我们选一些来证明。
(3) 这个结论不光对全空间的积分成立，对任意集合上的积分也成立。首先证明是非负实值函数、是非负实数的情况：若 , 显然成立。我们可以设。若是一个非负可测简单函数，且，那么也是一个非负可测简单函数，且。于是有 Lebesgue 积分定义 (sup), $int_Ef, dmu ge I_E(frac{1}{c}s)=frac{1}{c}I_E(s) Rightarrow cint_Ef,dmu=I_E(s); 0 le s le cf$ ，这就是说是的一个上界。同时由积分定义可知是的最小上界 (supremum); 故: 而另一方面，若 , 那么 ; 于是。所以 $frac{1}{c}int_E cf , dmu$ 是的一个上界，而是的最小上界，故 $frac{1}{c}int_E cf , dmu ge int_E f , dmu$ 。综上，我们有。我们可以用类似 +/- 分解来证明对一般的实值函数跟实数，这个等式也成立。最后复数就是分解成实部跟虚部，也能证明等式成立。(4) 首先对于简单函数: , 故 $I_A(s)=int schi_A , dmu = sum_{i=1}^ma_imu(A cap E_i)=0$ 。于是对于 , $int_A f=sup_{0 le s le f}{ I_A(s)} = 0$ 。对于一般实值函数，分解成。对于复值函数，分解成。(5) 注意到 $A cap B = emptyset Rightarrow chi_{A cup B}=chi_A + chi_B$

注：(2) 中若把条件放宽到 , 结论仍然成立。
(6) 令在处了零测集以外的地方都相等。由 (4) 跟 (5) 可得: $int f=int_A f + int_{X-A}f=0 + int_{X-A}f= int_A g+int_{X-A}g=int g$

Proposition 6.4 若是可积的；那么

证：首先考虑为实值函数。因为，我们有 ; 同时，于是。把这两个不等式合起来就是我们的结论。
当是复值函数时，也是一个复数。若这个复数为0，那么不等式自然成立。若不为0，那么我们把积分写成 $int f=r e^{i heta}$ 。那么 $igg|int figg |=r=e^{-i heta}int f=int e^{-i heta}f$ 。从上面的复值函数的 Lebesgue积分定义可知 , 又因为 , 我们有： $igg|int figg|=Reigg(int e^{-i heta}figg)=intRe(e^{-i heta}f) leint |f|$ , 证毕。注：表示取复数的实部，表示取复数的虚部。