6.1 Lebesgue 積分的定義和簡單性質

Definition 6.1 令為一測度空間，若 $s=sum_{i=1}^n a_i chi_{E_i}$ 是一個非負的可測簡單函數，定義的 Lebesgue 積分如下：

$int s,dmu=sum_{i=1}^n a_i mu(E_i)$ (式 6.1)定義中如果

而

, 我們規定

。若

是非負可測函數，那麼我們定義

的 Lebesgue 積分為：

int f,dmu =supigg{int, s, dmu: 0 le sle figg}

(式 6.2)

定義中為可測簡單函數。

若

是可測(實函數)，令

。這裡我們要求

至少有一個是有限的，定義：

最後，若

是復值函數，且

, 我們定義：

注意簡單函數會有多種不同的表達方式，如： $Acap B=emptyset, , s=chi_{Acup B}=chi_A+chi_B$ 。不難看出的定義不受影響，即，若 $s=sum_{i=1}^ma_ichi_{A_i} = sum_{j=1}^nb_jchi_{B_j}$ , 則 $sum_{i=1}^ma_imu(A_i)=sum_{j=1}^nb_jmu(B_j)$ 。(註：可以令 $C_{i,j}=A_i cap B_j$ 來證明)

若是一個簡單函數，那麼我們還需要驗證定義中的 (式 6.1) 跟 (式 6.2) 是為吻合的 (註：很容易可以確認他們是吻合的)

我們經常作這個簡寫：。當非常明確是哪個測度被用於 Lebesgue 積分是，我們也會簡寫積分為。有時候也會把積分寫成或。

當我們把對於 Lebesgue 測度做積分時，我們一般就簡寫: , 同時定義: $int_a^bf(x) ,dx=int_{[a,b]}f(x) ,m(dx)$ 。這就無縫銜接到微積分慣用的寫法了。

列舉一些簡單函數 Lebesgue 積分的性質，令為非負可測簡單函數，記 ; 下面所涉及的所有集合均是屬於的。由定義可得：

(1)

(2)

(3)

forall x in E, s(x) le t(x)Rightarrow I_E(s) le I_E(t)

(4)

F subset E, s ge 0 Rightarrow I_F(s) le I_E(s)

(5) $E_1 subset E_2 ldots, E=cup_{k=1}^infty E_k Rightarrow lim_{n o infty}I_{E_n}(s) = I_E(s)$ 註：我們有時候還會記集合 $mathcal I(f,E)={I_E(s): 0 le s le f}$ , 其中

為簡單函數。

Definition 6.2 我們稱是可積的 (integrable)，或者稱 -可積，若是可測的且。把稱為在集合上是 -可積的；有時候記作

Proposition 6.3 以下是關於一般函數 Lebesgue 積分的一些簡單性質：

(1) 若

是實值可測函數,

, 且

; 那麼

(2) 若

是可測、實值、可積的函數，且

; 那麼

(3) 若是可積的；那麼

(4) 若

, 且

是可積的；那麼

(5) 若

, 則 $int_{A cup B} f = int_A f +int_B f$ (6) 若

, 則

證：我們選一些來證明。
(3) 這個結論不光對全空間的積分成立，對任意集合上的積分也成立。首先證明是非負實值函數、是非負實數的情況：若 , 顯然成立。我們可以設。若是一個非負可測簡單函數，且，那麼也是一個非負可測簡單函數，且。於是有 Lebesgue 積分定義 (sup), $int_Ef, dmu ge I_E(frac{1}{c}s)=frac{1}{c}I_E(s) Rightarrow cint_Ef,dmu=I_E(s); 0 le s le cf$ ，這就是說是的一個上界。同時由積分定義可知是的最小上界 (supremum); 故: 而另一方面，若 , 那麼 ; 於是。所以 $frac{1}{c}int_E cf , dmu$ 是的一個上界，而是的最小上界，故 $frac{1}{c}int_E cf , dmu ge int_E f , dmu$ 。綜上，我們有。我們可以用類似 +/- 分解來證明對一般的實值函數跟實數，這個等式也成立。最後複數就是分解成實部跟虛部，也能證明等式成立。(4) 首先對於簡單函數: , 故 $I_A(s)=int schi_A , dmu = sum_{i=1}^ma_imu(A cap E_i)=0$ 。於是對於 , $int_A f=sup_{0 le s le f}{ I_A(s)} = 0$ 。對於一般實值函數，分解成。對於復值函數，分解成。(5) 注意到 $A cap B = emptyset Rightarrow chi_{A cup B}=chi_A + chi_B$

註：(2) 中若把條件放寬到 , 結論仍然成立。
(6) 令在處了零測集以外的地方都相等。由 (4) 跟 (5) 可得: $int f=int_A f + int_{X-A}f=0 + int_{X-A}f= int_A g+int_{X-A}g=int g$

Proposition 6.4 若是可積的；那麼

證：首先考慮為實值函數。因為，我們有 ; 同時，於是。把這兩個不等式合起來就是我們的結論。
當是復值函數時，也是一個複數。若這個複數為0，那麼不等式自然成立。若不為0，那麼我們把積分寫成 $int f=r e^{i heta}$ 。那麼 $igg|int figg |=r=e^{-i heta}int f=int e^{-i heta}f$ 。從上面的復值函數的 Lebesgue積分定義可知 , 又因為 , 我們有： $igg|int figg|=Reigg(int e^{-i heta}figg)=intRe(e^{-i heta}f) leint |f|$ , 證畢。註：表示取複數的實部，表示取複數的虛部。