单独一节介绍一下又一个重要定理：Lebesgue 控制收敛定理 (Dominated Convergence Theorem)。

Theorem 7.9 设 f_n 是可测实值函数列，且 forall x,,f_n(x) o f(x) 。如果存在一个非负可积函数 g , 使得 forall x, nRightarrow,|f_n(x)| le g(x) , 那么：lim_{n oinfty}int f_n,dmu = int f, dmu

证：注意到 f_n+g ge 0 , 根据 Fatou 引理 (Theorem 7.8)： int f+int g=int(f+g)le liminf_{n o infty}int(f_n+g)=liminf_{n oinfty} f_n +int g , 因为 g 是可积的，所以两边同时减去 int g, 得：int f le liminf_{n o infty}int f_n

另一方面， g-f_n ge 0 , 于是 int g-int f=int(g-f) le liminf_{n oinfty}int(g-f_n)=int g+liminf_{n oinfty}int (-f_n) , 故 -int f le liminf_{n oinfty}int(-f_n)=-limsup_{n oinfty}int f_n , 即， int f ge limsup_{n oinfty}int f_n , 跟 (式7.3) 合起来就证明了结论。

我们发现 Example 7.3 中的例子同样不适用于控制收敛定理，因为对于 f_n=nchi_{(0,1/n)}，我们找不到一个非负可积函数 g ge |f_n| 。

如果单调收敛定理 (Theorem 7.1) 或者 控制收敛定理 (Theorem 7.9) 中关于函数列 f_n 的条件是 "几乎处处"的，那么结论依然成立。注意这个"几乎处处"需要更精细、精确的描述，这边先给出一个比较"弱"的"几乎处处", 下一节会证明一个更强的"几乎处处"条件下的单调收敛。

"几乎处处"条件： f_n 非负可测, A^c 是一个零测集。在集合 A 是上，我们都有 forall x in A, f_n(x) uparrow f(x) ; 那么 Theorem 7.1 仍然成立，因为我们只要把 f_n 换成 f_nchi_A 即可 ( f_nchi_A uparrow fchi_A )。而更"强"的"几乎处处"条件则是在每一步上升中所对应的零测集 A_n 都是不一样的 - 结论还是成立的，但是证明过程会复杂很多，我们到后面来详细讲。

同样的，若f_n 是可测实值函数，A^c 是一个零测集。在集合 A 是上，我们都有 forall x in A, f_n(x) o f(x)，那么由 Proposition 6.3 (4) 跟 Theorem 7.1, 我们有：

lim_{n oinfty}int f_n=lim_{n oinfty}int f_nchi_A=int fchi_A=int f ， 即控制收敛定理成立。


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