單獨一節介紹一下又一個重要定理：Lebesgue 控制收斂定理 (Dominated Convergence Theorem)。

Theorem 7.9 設 f_n 是可測實值函數列，且 forall x,,f_n(x) o f(x) 。如果存在一個非負可積函數 g , 使得 forall x, nRightarrow,|f_n(x)| le g(x) , 那麼：lim_{n oinfty}int f_n,dmu = int f, dmu

證：注意到 f_n+g ge 0 , 根據 Fatou 引理 (Theorem 7.8)： int f+int g=int(f+g)le liminf_{n o infty}int(f_n+g)=liminf_{n oinfty} f_n +int g , 因為 g 是可積的，所以兩邊同時減去 int g, 得：int f le liminf_{n o infty}int f_n

另一方面， g-f_n ge 0 , 於是 int g-int f=int(g-f) le liminf_{n oinfty}int(g-f_n)=int g+liminf_{n oinfty}int (-f_n) , 故 -int f le liminf_{n oinfty}int(-f_n)=-limsup_{n oinfty}int f_n , 即， int f ge limsup_{n oinfty}int f_n , 跟 (式7.3) 合起來就證明瞭結論。

我們發現 Example 7.3 中的例子同樣不適用於控制收斂定理，因為對於 f_n=nchi_{(0,1/n)}，我們找不到一個非負可積函數 g ge |f_n| 。

如果單調收斂定理 (Theorem 7.1) 或者 控制收斂定理 (Theorem 7.9) 中關於函數列 f_n 的條件是 "幾乎處處"的，那麼結論依然成立。注意這個"幾乎處處"需要更精細、精確的描述，這邊先給出一個比較"弱"的"幾乎處處", 下一節會證明一個更強的"幾乎處處"條件下的單調收斂。

"幾乎處處"條件： f_n 非負可測, A^c 是一個零測集。在集合 A 是上，我們都有 forall x in A, f_n(x) uparrow f(x) ; 那麼 Theorem 7.1 仍然成立，因為我們只要把 f_n 換成 f_nchi_A 即可 ( f_nchi_A uparrow fchi_A )。而更"強"的"幾乎處處"條件則是在每一步上升中所對應的零測集 A_n 都是不一樣的 - 結論還是成立的，但是證明過程會複雜很多，我們到後面來詳細講。

同樣的，若f_n 是可測實值函數，A^c 是一個零測集。在集合 A 是上，我們都有 forall x in A, f_n(x) o f(x)，那麼由 Proposition 6.3 (4) 跟 Theorem 7.1, 我們有：

lim_{n oinfty}int f_n=lim_{n oinfty}int f_nchi_A=int fchi_A=int f ， 即控制收斂定理成立。


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