圓周率pi比較著名的無窮級數公式有哪些？
…………
實際上，我們有：
其中：
為 Riemann Zeta 函數
為 Dirichlet Beta 函數
為伯努利數
為歐拉數
證明懶得寫了，見：
Aries：黎曼ζ函數、狄利克雷β函數：ζ（2n）與β（2n+1）的另一種巧妙求法?zhuanlan.zhihu.com
自己推一個試試。常見的圓周率展開式給出的結果通常都是圓周率的正數冪，我們不妨試試別的：
眾所周知，我們可以毫不費勁地算出
而由 可知，等式左側等同於
根據廣義二項式定理 ，可知：
事實上：
其中雙階乘的定義為
代入回原式，得：
又因為：
有：
由於本人水平有限，還希望知友們能夠幫忙驗證一下這個公式的準確性。若公式有誤，歡迎在評論區指出！
方案一：由 (J.Grengory, 1671) 和 (Leibniz, 1673) 提出
利用級數展開式
開闢了以反正切函數計算 的新時代：
然而收斂速度非常慢，需 項才精確到
。
方案二：由 (Newton, 1676) 提出
利用級數展開式
得到了計算 的新方法：
大大加快了收斂速度，僅 項便可精確到
，取前
項可精確到
位有效數字。
方案三：由 (Fourier, 1822) 提出
利用Fouier級數
令 ，可得一種新的
的計算方法：
然而收斂速度比較慢，需 項才精確到
。
方案四：由 (Riemann, 1859) 提出
利用 函數的第一積分表示
令 ，又得到了一種新的計算
的方法：
收斂速度相對來說還是比較快的，僅需 項便可精確到
。
方案五：Ramanujan 表示，你們全是弟弟！
這貨在1910年代憑「直覺」寫出了這麼一個公式：
取 項，
位有效數字：
取 項，
位有效數字：
這是魔法吧？？？
需要注意的是，該公式直到1987年才由Jonathan Borwein和Peter Borwein基於橢圓積分變換的理論給出證明。
BBP公式：
利用這個公式可以計算 小數點後任意一位。
可參考2020北京高考數學第十題
題很簡單，思路不錯
關於圓周率的級數近似逼近，我寫了一篇文章，分享一下～
高等數學（十一）圓周率的級數逼近 - 知乎
Chenglin Li：高等數學（十一）圓周率的級數逼近
我之前寫過一個這方面的回答，當然只是眾多級數表示中的一小部分。
只用加減乘除取極限這五種運算如何表示圓周率派？據說所有無理數都可以這樣獲得？?www.zhihu.com
不是無窮級數，但是也能表示出圓周率：
我並不知道該怎麼證明，求各位幫幫我。
抱歉，這式子其實不成立，不過左右兩邊的差很小。詳見：
Reimu Hakurei：如何證明這個和圓周率相關的積分式??www.zhihu.com
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