連續統是什麼意思？如何理解連續統與實數的關係？
如題。
連續統是實數集的抽象。連續統描述了像實數一樣的稠密，完備（無洞）的性質。
實數集只是一個連續統的例子。當然，實數集也可以說是原型，因為連續統是從實數集推廣出去的。
在某些場合，連續統也可能被用來代指實數集。（可能為了強調其完備性吧）
注意不要跟「連續統的勢（基數）」混淆。（即直觀地看，所謂集合的大小，或者個數）
而且具有連續統基數的集合，未必是連續統。比如無理數與實數等勢，具有連續統基數，但是無理數集可不具有像實數那樣的完備性。
題外：連續統假設
可列集的勢為 。（自然數的個數，整數的個數，平面格點的個數……）
連續統的勢為 ，而且
。（想像任何一個實數可以用無限二進位表示嘛。當然，嚴格的話，實數的二進位表示不唯一，
。於是還得構造康托三分集，證明
。然後由康托爾－伯恩斯坦－施羅德定理，得到等勢）
康托對角論證可知， 。（實數是不可數的）
但 是不是大於
的最小的基數呢？即它們之間不存在其它基數？
這個問題的答案未知。連續統假設即 （
後的第一個基數）。
從ZFC公理出發，它不可證明，亦不可證偽。
連續統是一種集合 。
(1) 是全序集。在
上定義了全序關係（也稱線性序、簡單序等）
，即
- （反對稱性）
- （傳遞性）
- （完全性）
定義了 ，其餘的
可以導出。
（2）稠密性。 的任何兩個元素
之間，必存在其它元素
。即
比如有理數 就滿足稠密性，因為任何兩個數，其中間有個平均數。
（3）完備性（直觀地講，無洞）。（最小上界公理，或上確界原理）任何一個 的非空子集
，若有上界，則必有上確界。即
這個原理是硬性地規定了上確界不能掉進洞里，即上確界一定存在。（公理，不需要沒有理由）
此外，最小上界公理有很多等價的論述。比如單調有界原理，也是不讓極限掉進洞里。
連續統就是實數集的個數
首先要明白"勢"的概念，一個集合的勢，或者說集合的基數，是用來表示集合的"大小"，當一個集合與實數區間[0,1]等勢時，稱這個集合為連續統。一般的，如果集合是有限的或可數的，稱其為零勢，例如有理數集合雖然是無限的，但有理數是可數的，所以有理數集合的勢為零。所以實數才能稱為連續統，整數有理數都不能。
實數是現實宇宙的物質的無窮小成分的算術整數解。連續統即連續統一，必須用物質的幾何學圖形來說明：https://zhuanlan.zhihu.com/p/70727574
連續統是指實數集中元素的個數，一般用c表示
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