初等函數之上有無定義「高等函數」？
學習了基本初等函數，又學習了反函數、複合函數，在此基礎上學習了初等函數。覺得數學應還有其他函數，已超越初等函數的範圍，接下來應是學習什麼？
函數只有初等函數和非初等函數的區別, 你非要叫高等函數那其實大家也都懂.
初等函數是由劉維爾(Joseph Liouville)劃分的六大基本初等函數(反對冪三指常)複合而成的函數, 其他都叫非初等函數.
劉維爾又為什麼要做這等絕地天通的偉業呢?
幾百年前(1833)還沒劃分的時候, 那時候函數甚至都還沒被定義為映射, 必須是表達式...
劉維爾你可能沒聽說過, 雖然他也算是那一時代領袖級的數學家
伽羅瓦的故事你應該知道, 劉維爾是第一個發現伽羅瓦理論的重要性的數學家, 後來他整理髮表了伽羅瓦的遺作, 數學界這才認識到伽羅瓦的天才工作.
伽羅瓦理論代表了一種認識思想, 一個代數結構取決於生成元和之上定義的運算.
比如我們有個集合 , 定義加法和逆運算減法, 就能得到一切整數, 我們記為
.
然後我們知道還有乘法和逆運算除法, 然後能得到一切有理數, 我們記為 .
我們還能加上開方, 但是即便是加上了開方, 也有無法表達的東西, 比如五次方程的求根公式.
這種思想同樣適用於函數, 不過注意運算本身也是函數, 兩者無需區分.
一般二元的才叫運算, 而一元的叫做運算元, 加入運算後一般也要同時加入其逆運算.
我們用恆等函數和常函數作為生成元,
定義加法減法, 這樣得到的叫算術函數
加入乘法除法, 擴充後的集合叫代數函數
加入冪函數, 我們就能表達所有的根式.
加入微分運算, 計算 的本徵運算元, 得到指數對數函數
計算 的本徵運算元, 得到所有三角函數, 反三角函數.
雖然再計算 還能得到一族函數, 不過這族函數肯定能被指數函數表達, 閑的沒事幹當然也能命名一族函數.
三角函數其實也一樣, 不過人們早就知道三角函數和指數函數是一體的了, 兩者區分只是為了習慣和方便.
這樣子劃分, 一切看起來非常美好...
那麼問題來了, 微分運算的逆運算是積分, 加入積分運算元會怎麼樣?
計算橢圓周長, 我們能列出表達式
人們驚奇的發現, 這似乎無法用現有的符號表達.
當然這不是什麼問題, 我們可以暫記為 .
然而很不幸, 這一族函數比三角函數還多, 字母都快不夠用了...
另一邊, 電磁學的發展, 他們經常要計算類似 的表達式
這個好像也沒法表達啊, 那麼又要發明一族函數...
你發明, 我也發明, 我們用的符號還不大一樣, 我也看不懂了你在寫啥...
這麼搞下去估計得來個函數統一委員會來分配命名...
這時候劉維爾來了, 他就做了三件小事
- 第一個呢, 就是發展了微分域理論, 證明了以上函數確實無法被其他函數所表達
這也沒啥, 大家都默認的事, 只是沒有證明罷了...
- 第二個呢, 證明了無論你怎麼加入新的函數, 總是會有更多的無法表達的積分式
這下麻煩大了, 無論怎麼發明符號, 萬能函數計劃泡湯了
當時總有人覺得這麼多函數總歸會有一個萬能函數統一起來, 結束這個混亂的悲劇.
- 第三個呢, 劃定基本初等函數, 反對冪三指常
從此大家都學這六個就行了, 其他函數出現, 就得寫一行標註這是個啥
你們一個領域內都懂這不算, 對於非業內人士, 得默認他們只懂初等函數.
後來隨著領域的不斷細分, 這個決策被認為是非常明智的, 因為符號真的不夠用...
基本初等函數這個劃分範疇劃的非常好, 物理公式也很少會有超出這個範疇, 大家都還算滿意...
當時被排除的函數也很多, 比如階乘函數 , 誤差函數
, 所有數論函數, 整個橢圓函數族, 等等, 現在還是約定俗成的使用沿用名.
後來提出的比較有名的還有黎曼 函數等等, 現在每年還在提出數不清的函數.
所幸你已經不用去學他們了
update 20190824:
- 誤區1: 超越函數不是初等函數
錯, 事實上除了常函數與整數次冪函數, 其他都叫初等超越函數, 比如 統統是超越數, 劉維爾雖然是超越數的提出者, 但劃分的時候並沒有這方面的考慮, 而且當時也無法判斷這些數的超越性
- 誤區2: 絕對值函數不是初等函數
錯, 難道不是基本初等函數複合而成的嗎?
分段函數不一定不是初等函數, 事實上只要沒有跳躍間斷點就都能初等表達.
- 誤區3: 有解析式的就是初等函數
解析式這個詞, 是歐拉用的, 現在的等價術語是封閉形式, 封閉解只要求閉包, 對具體的生成元沒有要求, 初等函數符合正好符合而已.
在現代, 解析函數一般是指局部上由收斂冪級數給出的函數
如果你對非初等函數有興趣的話, 有名有姓的主要有以下這幾類:
階乘函數族:
階乘的推廣, Gamma 函數
繼續推廣得到多階乘函數, PolyGamma
超階乘, BarnesG
還有各種衍生, 比如 Beta/Pochhammer
誤差函數族與雙指數積分:
正態分布計算中衍生的誤差函數, Erf
注意到三角函數也是指數函數, 所以 Fresnel/Si/Ci 等也包含在內...
貝塞爾函數族
- 第一類貝塞爾函數(貝塞爾積分)
- 第二類貝塞爾函數(諾依曼函數)
- 第三類貝塞爾函數(漢克爾函數)
- 修正貝塞爾函數
- 球貝塞爾函數
只有5類, 屬於少的, 至少和下面那些大族比起來很少...
橢圓函數與橢圓積分
Jacobi定義了12個, Weierstrass 定義了15個, 還有其他數學家定義的, 加起來近百個...
以前屬於和三角函數一樣人人要掌握的內容
Zeta函數與多對數函數
黎曼函數
玻色–愛因斯坦分布中提出的 PolyLog
前幾年我看 IS 老哥在推廣超多重複合多對數函數(Multiple Polylogarithms)
還有多重黎曼函數, 他們開心就好....
多項式正交基:
Hermite/Chebyshev 之類的, 也就十幾個, 問題是物理學家還在不斷地發明新的....
Q 級數
新興的一類級數, 上面那些函數推廣一遍...
模形式
另一個推廣方向, 再推廣一遍...
統一函數族
為統一而生的函數, 但是只是製造了更多的悲劇, 我查公式都查錯...
超幾何函數(高斯超幾何函數)
後來推廣為廣義超幾何函數
再後來推廣為梅耶爾G函數
數論函數
歐拉函數, 莫比烏斯函數, 迪利克雷函數...
老牌函數, 本來就很多, 然後解析數論以後就爆炸式的更多了...
閱讀說明：
- 本回答較長，且有些偏題。最直接而切題的回答見最高贊，專業而精闢。
- 本回答適合接觸過微積分理論的高中生以及低年級本科生閱讀。
- 本回答部分內容做了一些刪改、重新排列標題
- 本回答邏輯索引：
- 各類初等函數回顧：
初中階段函數回顧---高中階段函數回顧---大學階段函數概述---多元函數---向量函數---複變函數
2. 高等函數概述：
基於積分定義的函數---衝激函數---泛函理論---級數理論概述---Taylor/Laurent級數---Fourier級數---黎曼函數---基於微分方程定義的函數
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作者補充：
這篇回答我寫了很長的時間，旨在從我一個非數學系的學生角度一步一個腳印地來探索函數這座大山。寫作的最開始是充滿回憶的，想起以前青澀的時光——初中第一次隨著老師接觸函數概念時的激動，高中從最開始被各類f(x)搞得頭皮發麻到高三複習時終於弄得相對清晰，再到大學接觸了微積分以後見識了更複雜更廣闊的函數理論。
寫作到後半段是比較棘手的，翻閱各種資料，生怕自己的描述太過於主觀或者有誤導性——比如最開始是寫了重積分理論的後來覺得寫的亂七八糟又刪掉了。又因為自己的數學基礎不夠，在寫一些比較高端的概念時謹言慎行——比如寫泛函和廣義函數、特殊函數等等。
所幸這個回答的反響特別好，一天不到的時間就突破了200贊，還有知友甚至給了我打賞，作為一個學生黨真的有點受寵若驚【重名率太高沒找到@的那位，汗b】。更讓我欣喜地是居然引來了數學優秀回答者的大牛作出了他的專業性見解，並有人修改了原本題主有些凌亂的標題和問題描述。真正意義上達到了「拋磚引玉」的效果。
以下是原回答，在寫作的時候難免因為各種原因會出現一些細節錯誤。歡迎各位知友的指正，如果覺得對你有幫助請不要吝惜自己的贊，謝謝各位。
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2020.8.18更新：最近寫了一個關於「函數」本身概念理解的回答，歡迎閱讀
https://www.zhihu.com/question/414255457/answer/1415545138
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正文：
- 初中階段的函數
初中階段應該是最開始接觸函數概念的時期。那時候的主要目標是認識平面直角坐標系，而函數的概念是基於自變數、因變數描述下的籠統定義。具體學習的函數是類似於正比例、反比例、一次、二次函數。其實從現在的觀點來看都是冪函數進行簡單的加減法運算（即多項式），並且冪次也只討論了-1，0，1，2這樣的冪次。最多對函數進行的變換也就是引入一些未知的參數或者引入分段函數進行討論而已。
對於三角函數並沒有作函數性質的探討，僅僅用作平面幾何當中邊角運算的工具。而且即便是作為幾何分析工具，在初中數學由於缺少了鈍角三角函數、誘導公式、三角恆等變換和正餘弦定理，導致在平面幾何分析時也處處受限，自由度沒有高中時候那麼高。
在隨後的中考數學中，更多的是玩一些解析幾何分析、參變數分析以及平面幾何分析的套路，對於函數概念的本身並沒有進行展開。
- 高中階段的函數 【一元函數】
在高中階段，提出了映射的概念，建立了函數的嚴格定義 。提出了複合函數
與反函數
的映射運算。使得函數概念自由度瞬間爆炸，這也是高中數學的難點。當通過映射關係來定義時，函數可以不出現具體的表達式，即所謂抽象函數。並且還出現了很多衍生的概念，例如：
- 出現了函數的圖像變換，通常以一次函數（或者說線性函數）來構造：
表示沿x軸向左平移1，
表示沿y軸對稱，
表示沿著x軸壓縮2倍。
表示沿著-x方向的圖像被+x的對稱圖像覆蓋。
- 出現了函數的遞推關係，當然現在也可以看作差分方程：
- 出現了函數的對稱關係，以奇偶性為代表：
偶函數（y軸對稱）： ，奇函數（原點對稱）：
衍生為： ，則對稱軸為
.
，則對稱中心為
.
之前對稱中心計算有誤，感謝評論區：@Ricardo的指正
除此以外還有原函數和反函數關於 對稱等等。
- 出現了函數的周期性關係，以正餘弦函數為代表：
當然在大學階段看來周期函數是很重要的，與其嚴格相關的理論就是Fourier分析。
- 出現了函數的單調關係，即函數的兩個點之間的關係：
單調增：若 ，則
對於兩個函數點的分析在高中導數題當中有極值點偏移這類題型。在微積分中諸如一致連續的定義、Lagrange中值定理等也會涉及。
在嚴格對函數概念進行定義之後，就是進一步介紹函數的各種具體的表達式，即建立了基本初等函數——「反、對、冪、三、指、常」六大函數：
研究了它們的代數運算特性以及圖像特性（當然，目前的高中教材刪去了反三角也同時刪去了反映射，但它們曾經存在過且依然是體系的一部分）。
基本初等函數經過有限次的運算稱為初等函數。這一點又是函數的自由度爆炸點。將這六類函數任意地組合，運算，有了無窮多的可能性。比較有代表性的例子有——多項式函數【或稱為N次函數，包含了初中時研究的一次、二次函數】；兩個多項式函數相比，形成的分式函數【在高中時研究了諸如雙鉤函數 之類】等等。
高中階段建立起的映射函數體系是目前數學中應用得最廣泛的函數概念。事實上，即使在大學數學中，一元微積分中研究的函數與高中階段建立的函數依然完全一致。同時，計算機語言中的函數只不過把「映射」這一抽象過程轉化成了數據傳參的過程。
- 大學階段函數概述
大學在高中基礎上又引入了微積分和線性代數理論。二者對函數世界又作出了極大的拓展。在高中階段可能已經粗略接觸相關概念，比如：
函數的導數 或寫作
；函數的定積分
。
數列 ，向量
，如果是江蘇卷還涉及了矩陣概念等等。
這裡為了語言更加通俗易懂，盡量避免一些較晦澀數學語言的出現。在以上知識的基礎上簡要地介紹一下大學數學中會出現的一些函數概念。
- 多元函數 [1]
對於多元函數的概念是很容易理解的，即在原來的函數基礎上將變數的數目增加。以二元函數為例，就是把原來的一維點到一維點的映射，轉化為二維點到一維點的映射。
例如：
相應的圖像為：
從圖像中我們可以看到，這一個三維曲面。在x-y平面（底面）上的每一個二維點都可以畫一條豎線對應一個z函數值。
當變數的個數再次增加，變為三維點到一維點的映射，就沒有辦法直接用一個幾何圖形來描繪了。所以，當我們想要可視化這樣的函數時，可以用其它的數據來表述，比如顏色。
例如：
對於這個三元函數而言，它的定義域形成的空間應該為一個立方體。這時可以給立方體塗色，然後用顏色的深淺來表徵函數值，如下圖：
當然，目前能連續可視化的函數最多也就做到三元（四維）。如果維數更多，則只考慮它們的代數性質而不會研究它們的圖像了。
話題有點扯遠了，我們再回到多元函數的研究上來。對於多元函數無法直接定義導數，因為有多個自變數的變化同時影響因變數。所以採用了「切片降維」的思想，定義了偏導數。還是以二元函數為例，相應的偏導值直接在求導的基礎上把另一個變數視作常數：
其幾何意義即曲面在x截平面和y截平面上的切線斜率。
當然，我們還可以利用坐標合成的思想，引入方嚮導數：
，其中：
將它改為向量點乘的形式，引入梯度：
其中 為兩個向量之間的夾角。當夾角為0°時，方嚮導數取得最大值，也就是梯度向量的模值。所以梯度也可以反應為方嚮導數變化最快的向量，梯度也被視作多元函數的導數。
對於多元函數的積分，首先和偏導數類似，可以定義偏積分，即：
其計算和偏導數類似，將不積分的變數視作常數。注意到此時積分以後的結果依然為一個函數而非一個常數，所以這種積分也被稱為含參變數的積分。
同理利用坐標合成的思想，引入第一類曲線積分 ：
，其中：
，亦稱作弧微分。它相當於x方向的微元和y方向微元經過勾股定理的合成：
在之前的定積分 中的
為一維約束。
此時的L為一個二維約束，它可以是任意的二維弧線，例如： 。
另外當L是圓： 或橢圓：
等封閉曲線時，那麼此時會在符號上改為
以表徵這種類型積分的特殊性。
- 向量函數
多元函數說到底還是多維點到一維點的映射，即： 。
如果說這時引入向量 ，則可以將上式簡潔地寫為：
。
注意，此時的函數輸入值為向量，輸出值為標量。
在物理問題中這種類型的函數是很常見的，因為我們經常會定義 這樣的三維位置矢量。所以當某個為標量的物理量，如濃度、溫度、電勢等在某個三維物體上非均勻分布時，就常常會用這樣的函數描述：
。
再複雜一點，我們還可以建立多維點到多維點的映射族，也就是熟悉的參數方程：
此時引入，
。
那麼最終的表達式為： 。
我第一次接觸這樣的向量函數時不得不感嘆符號語言的內涵——僅僅將原來的表達式每一個字母加粗，內在的含義就比原來複雜了不知道多少倍。
注意，此時的函數輸入值為向量，輸出值為向量。
在物理問題中這種類型的函數也比較常見，如速度、電場強度、磁感應強度等在某個三維物體上非均勻分布時，就常常會用這樣的函數描述： 。
在如流體力學、電動力學之類的學科中會經常運用到上面建立的兩種向量函數，它們被稱為場函數。前者被稱為標量場、後者被稱為矢量場。以場函數為核心的數學物理理論稱為場論。
對於標量場函數 ，它的導數值直接取前文提到的梯度：
。
對於矢量場函數 ，它的導數則比較複雜，可以直接取矩陣形式，即Jacobi矩陣，這裡不作贅述。此處介紹兩種在場論中用的較多的形式，即散度和旋度。
考慮梯度的定義：
視： 為一個算符向量，亦稱其為Nabla算符/Hamilton算符。
向量之間可以作點乘與叉乘，則定義 為散度，
為旋度。這裡為了不增加敘述的晦澀程度就不介紹它們的具體表達式了。
註：不了解向量叉乘的可以看看向量叉乘的線性性質與幾何解釋
關於梯度、散度、旋度的直觀意義，3BLUE1BROWN做過一些比較好的可視化視頻：梯度下降法概述，散度和旋度概述
接下來談談積分。對於標量場函數來說它的積分和多元函數沒有任何區別，而矢量場函數有著屬於它的積分。它的核心思想是建立一個矢量微元：
，其中
和
表示x軸和y軸方向的單位矢量。
這個矢量微元的模值剛好是前面的弧微分： 。
積分時原來的乘法則變為點乘： ，由此建立了第二類曲線積分。L依然和之前一樣是一個二維的線段約束，封閉線段也應該把積分符號變為
。
若A看成物體受力，r為位置矢量，則該積分的物理意義為變力沿曲線做功。
這種積分還有一種常見的寫法，首先將因變數寫成坐標形式：
，
然後進行點乘運算：
若自變數向量為二維,也可以寫成：，此寫法也為大多數的高等數學/數學分析教材中的寫法。
- 複變函數[2]
關於複數理論已經有很多大牛科普過了，如：
怎麼理解虛數和複數？?www.zhihu.com
這裡值得一提的是，複數又稱為二元數，起到了「一個頂倆」的作用【想到了最近成語接龍的梗2333】。它可以利用定義做實虛分解，即： 。
也可以利用Euler公式做幅相分解，即： 。
僅僅從數據特徵來看，實虛分解相當於實數的直角坐標點，幅相分解相當於實數的極坐標點。
以複數為變數建立的映射，則稱為複變函數。形式為 。
如果把複數拆開，你也可以理解為二維實數到二維實數的映射，即：
相當於一個坐標平面到了另一個坐標平面。所以複變函數有時候也常常用來表示坐標變換。
如圖：函數為 就表示把角度擴大兩倍。
複變函數的導數可以直接定義 。但由於變數的二元特性，自變數的範圍可以有很多種，在複平面內它可以在一個點上、一條線上和一個區域內可導。
其中在一個區域內可導又稱為解析，用更嚴謹一點的語言來說，應該是不僅在該點可導，且在該點的鄰域內（即以該點為圓心做一個任意小的圓）可導。
解析函數是複變函數理論中研究的重點，因為它具有很多很良好的性質，但同時它的要求又比較嚴格，例如它的實部和虛部必須滿足Laplace方程，即：
其中 為Laplace算符，其中
，表示梯度的散度。
處處解析的函數又稱為整函數，有限遠處解析的函數又稱為半純函數，對它們的研究這裡不作展開，詳見參考書目。
要判定函數可導，需要滿足Cauchy-Riemann條件： ，也可以說成是解析的必要條件，不充分則是因為可能是在某點或者某條線上可導。
複變函數導數值具有很特別的幾何意義，它的模值代表了圖像的伸縮率，輻角代表了圖像的旋轉角。
最經典的就是共形映射理論，它介紹了一種除矩陣以外操縱平面變換的方法，能更好地反映複變函數作為坐標變換的本質特徵。
【註：關於矩陣操縱平面變換見：線性代數的本質 - 03 - 矩陣與線性變換】
複變函數的積分也因為複數的二元特性，它的約束顯然是二維的，所以都是線積分的形式： 。當然，對於解析函數而言，它的環路積分為0：
對於某些不解析的點，稱為奇點。對於有奇點函數的積分有一個著名的留數定理，即：
其中 為函數的奇點，Res為留數Residue的英文縮寫。上式表明，對於有奇點函數的環路積分，其值為函數在i個奇點的留數之和乘上2πi。
複變函數比起實變函數（即前文提到的以實數為變數的函數）還有個不同在於它的多值特性。在實變函數中的映射只能一對一或多對一。但複變函數可以容納一些特殊的一對多的情況。
下面介紹兩個最經典的多值函數：
- 根式函數：
。
時，則會出現
和
兩個值。
【感謝評論區 @伊拉斯 @抽象本體 的指正】
2. 對數函數：
時，則會出現
無窮多個值。
我們可以用支割線和黎曼面的方法來研究多值函數每個單值分支的變化情況，此處不再贅述。
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在前文中提及的函數體系，是對初等函數變數的類型、個數、維度做了拓展。以下提及的函數已經完全脫離了初等的範疇，依賴於某些微積分的表達式來定義。
- 基於積分定義的函數[1][2][3]
在前文中已經提及含參變數積分。
最經典的利用含參積分定義的函數，即 Gamma函數：
這裡s可以是複數。
知乎上也有很多人討論這個函數，例如伽馬函數雜談，Beta 函數和 Gamma 函數有什麼用？
這個函數的用途比較廣泛，比如可以表示階乘 ，當然還有很多性質，
與之緊密相關的的是Beta函數：
還有Psi函數：
對於這個函數，有：
，被稱為Euler常數。它的定義是調和級數與對數值相減得來，詳見：Euler-Mascheroni Constant
Gamma函數中， 。我們在這個區間插入變數z，稱為不完全Gamma函數，即：
顯然，根據積分上下限的可加性： 。
不完全Gamma函數可以用來表示一些經典的積分函數：
指數積分：
對數積分：
正弦積分：
誤差函數：
- Dirac衝激函數[2][4]
在信號分析/量子力學中常出現一種特別的函數稱為Dirac衝激函數，或者更通俗的說法叫做理想脈衝。在實際中的脈衝一般是一段很窄的門函數，即：
其圖像為：
當門的寬度趨向於0時，即 ，有：
這個無窮大的意義應當建立在積分運算： 上，可以視作衝激函數「選出」了函數在x=0的值，如圖：
故又稱為該函數的「篩選特性」。
特別地，當 時有：
。
常常圖示為：
與之緊密相關的時Heaviside階躍函數，定義為： 。
其圖像為：
這個函數本身為一個分段函數，在x=0處有一個跳躍間斷點，所以這個函數可以理解為跳躍間斷點的簡化表示，例如我有這樣的一個分段函數：
它可以用階躍函數表示為：
階躍函數和衝激函數互為導數關係，即： ，我們可以從階躍函數的圖像中看到，在x=0點處由0跳變到了1；這意味著，衝激函數的幅度（積分值）就是間斷點函數值的跳變幅度。
此外，還可以讓原本存在間斷而不可導的函數可以用衝激函數來表示，例如上文中的f(t)。
衝激函數擁有廣泛的應用
在信號分析中，如果輸入信號為衝激信號，它的輸出信號被稱為單位響應，這是因為它在信號的變換域【即Fourier、Laplace、Z】所對應的值都為1。
在量子力學中，考慮粒子運動時會受到勢能的作用，常常用 這樣的標量場函數來描述粒子的勢能變化，稱為勢場，而與勢場緊密相關的方程為薛定諤方程，常常通過解不同勢場中的方程來確定粒子的運動狀態。如果勢能值集中於一點且相當大，我們也可以用衝激函數來描述，稱為δ勢壘。
在研究本徵函數的歸一化問題時【關於本徵函數的概念詳見後文】，若積分值為無窮大，常常也用衝激函數來歸一[5]。
- 泛函理論
了解了衝激函數的定義以後，我們可以發現它和我們之前遇到的函數定義並不相同。因為之前的函數建立的映射是點對點的映射。而衝激函數如果不依賴於函數f(x)的積分值，則它的定義【指t=0處的無窮大】將是毫無意義的，其本質上是通過一種間接的方式進行——以另一個函數f(x)作為跳板。
很顯然，如果f(x)發生變化，那麼衝激函數應該會跟著變化。我們把類似於這樣的關係稱為「函數的函數」，即泛函（functional），衝激函數隸屬於泛函分析中的廣義函數。
這裡舉一個例子來理解一下泛函的概念，假設我們知道了函數表達式y(x)【這種常用的函數寫法省略了映射f，即僅僅寫出因變數和自變數】，那麼我們可以利用之前提到過的線積分來求出函數曲線的長度，考慮： , 有：
，其中二維曲線C中
很顯然，曲線的長度與整個函數y(x)有關係，那麼完全符合泛函的概念，用數學符號可以抽象為：
另一個比較經典的例子就是最速降線問題中的時間變數：
詳見：zdr0：什麼是最速降線？它又有何奇妙的性質呢？
需要注意的是，泛函的概念與複合函數的概念不同，y=f(g(x))雖然看起來是以g(x)為變數，但本質上建立的是點對點（x到y）的複合映射，而並非函數到點的映射(g(x)到y）。更具體一點，對於複合函數，給定一個x值依然有y值與之對應；而泛函一定要給出x的一段區間，才能定義出g(x)，從而泛函值才能存在。
- 級數理論概述[1][2]
數列的和 可以用大型運算符Σ表示：
當我們取上限為無窮時，稱為無窮級數（簡稱級數）：
無窮級數的定義說明了「無限項求和不一定為無窮大」，比較經典的理論為芝諾悖論，詳見：如何理解「芝諾悖論」？
我們可以把數列換成函數列，則稱為函數項級數： ，即利用無限個函數相加的形式構造了一個新的函數。利用級數構造的函數常常用來實現函數的逼近。其中以下介紹兩個經典的級數逼近。
- Taylor/Laurent (多項式）：
最早的函數近似是「線性近似」，考慮用一次函數來近似代替原函數等，即所謂的「以直代曲」。
根據直線的點斜式，不妨考慮 。
要讓這樣近似的精度比較高，需要讓 取得極小，進而催生了微分和導數。其催生的來龍去脈在參考書目中有比較詳細的解釋，簡單來說就是我們確定了
於是這個近似也變成了: ,
這裡的 為高階無窮小的記號，簡單來說就是可以忽略的誤差。舉個例子，假設等式左邊的值為1573，右端為1573.02。那麼這裡的
就可以視作0.02。
Taylor提出了用次數無限大的多項式來代替線性近似的做法，即：
當n=1時即為前面的線性近似。這裡多項式的係數從一階導數變成了高階導數/階乘的形式。這裡n若為無限項，它的誤差應為0【理想狀態】，若為有限項（n=k)，它的誤差應為 ，相對原來的誤差提高了很多【可以簡單理解為誤差由0.02變為0.02的k次方】。
Laurent提出了在複數情況下的近似，即：
相當於將上式的展開由實數改為複數、且下限變為了負無窮。當n=-1時的多項式係數即留數定理中留數Res。
- Fourier（正餘弦/虛指數）：
針對周期函數，可以利用無窮多個正弦/餘弦函數來進行疊加來近似：
其中：
，
表示函數在一個周期內的積分值。
考慮三角函數的輔助角公式，可以將上式整合為：
。
其中：
考慮Euler公式: 還可以利用虛指數進行疊加：
。
其中： 。
Fourier級數最大的意義是引入Fourier分析，在知乎上也有很多科普，例如：
Heinrich：傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06如何直觀形象、生動有趣地給文科學生介紹傅里葉變換？小棗君：告訴你一個真實的傅里葉3B1B的視頻：傅里葉級數的可視化，形象展示傅里葉變換
黎曼函數
級數理論除了函數求和近似以外，也有直接利用級數來定義的函數，比如黎曼ζ函數：
。自變數的實部需要滿足：
可以通過Γ函數來將它延拓到整個複平面上：
關於其延拓的可視化，可以看3B1B的這個視頻：黎曼函數解析延拓的可視化
它在數論中有很重要的應用，比如與莫比烏斯函數 的關係：
；
基於該函數提出的還有大名鼎鼎的黎曼猜想：
黎曼猜想（Riemann hypothesis）是什麼？有什麼用？?www.zhihu.com
- 求解微分方程定義的函數[2]
簡單說明一下微分方程(Diffrential Equation)的概念，即含有未知函數導數的方程。如果是一元的導數 則稱為常微分方程（Ordinary Diffrential Equation，ODE)；相應地，如果是多元的導數，例如
則稱為偏微分方程（Partial Diffrential Equation，PDE)；
之前複製以後忘了改英文，感謝 @Ecr.弋夕希霅 的指正
最簡單的微分方程如： 可以一眼就看出答案。
也有現在都沒有搞清楚的方程，比如NS方程和湍流問題。
註： NS方程和前文提到的黎曼猜想都屬於目前的七大數學難題，詳見：
除了黎曼猜想，數學界還有哪些至今尚未得到證實的猜想？微分方程的可視化3B1B也做過視頻：微分方程引論
在求解微分方程得過程中常常會引入很多特殊函數，這裡舉幾個常見例子：
對於Poisson方程： ，左端u表示物體收到的電勢能，右端的ρ表示某個帶電物體的電荷密度，ε0為真空介電常數。求解該方程的問題常稱為穩定場的求解，即方程與時間無關，始終保持穩定。
求解該方程的最簡單的方式是利用點電荷疊加的方法，即先求解
這裡點電荷的電荷密度為無窮大，所以用衝激函數來表示。解出G後，利用Green公式得到u和G的關係，從而得到原方程的解。故G又稱為Green函數。
另一種求解該方程的方法是利用分離變數法，即通過把u表示成若干坐標乘積的形式來將PDE轉化為ODE，並每次分離一個變數，就會多引入一個參數，稱為本徵值。解該ODE的問題稱為本徵值問題，常常引入一些特殊函數來表示XX方程本徵值問題的解，該函數又稱為本徵函數。
基於球坐標分離變數提出了：（Associated）Legendre函數： 。以及球諧函數
。
基於柱坐標分離變數提出了：Bessel 函數：
這樣的函數具有正交歸一性，有同樣性質的函數就是三角函數和虛指數函數。所以我們也可以用上述的函數無限求和來逼近其他函數，故稱為廣義Fourier展開。
基於方程提出的函數還有一個「大一統函數」——超幾何函數 。很多前文提到的特殊函數可以用它來表示，如：
；
；
在量子力學中還會遇到如Hermite多項式、Laguerre多項式等特殊函數，也是利用薛定諤方程分離變數而提出來的，這裡就不列出了。
有關於更多偏微分方程和特殊函數理論的介紹可以參見我這個回答：
自學數學物理方法是種什麼體驗？?www.zhihu.com
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後記：
基於上文所述，相信大家已經對所謂「高等函數」有了一個模糊的認識。並且也了解到函數概念的複雜和廣闊性。
事實上，鑒於本人的知識和精力所限，在大學中對函數理論的研究也僅僅局限於自己的專業領域。對很多較為抽象複雜的函數概念只是提出了主觀上比較粗淺的認識，在行文的過程中也盡量省略和減少贅述，有大量的概念、公式、定理都尚未提及。
本文的目的主要是基於我自己的理解，從學生的角度將函數概念的脈絡能較為通俗地梳理清楚，給出一個線索導引。如果想要全面而清晰地理解文中提到亦或者未提到的函數概念，還是需要多研究一些相關的數學書籍【比如給出的參考文獻】，詳細地理解推導相應的定理，做一做相關的習題。
參考
- ^abc陳紀修.數學分析[M].第2版.高等教育出版社, 2004年10月.
- ^abcde吳崇試.數學物理方法[M].修訂版.高等教育出版社, 2015年5月.
- ^何思謙.數學辭海[M].第三卷.山西教育出版社, 2002.
- ^ 吳大正.信號與線性系統分析[M].高等教育出版社,2008.
- ^曾謹言.量子力學[M].第四版.科學出版社, 2007年1月.
」凡是不能用初等函數和四則運算加複合經過有限多次拼裝起來的就是高等函數。
高等函數往往通過一個微分方程的解引入比如里卡蒂方程或者橢圓積分。
這個和伽羅華理論——完全類似:通過一個代數方程引入一個不能用係數和根號有限次拼裝出來的數字。
其實分析學和代數學都很重視有限無限的區別
分析學玩具體的無限逼近，代數學則是研究可以被有限組合的對象的範圍。不斷添加初等函數就可以擴張有限組合的函數集合:比如多項式函數不能有限組合三角函數，所以如果添加三角函數為初等函數又可以去有限組合更多函數。
深入閱讀:微分伽羅華理論。
這塊內容是真正的純數學，內容與物理無關，所以沒有任何實用價值。
只是數學自己內部的整理。
你所謂的高等函數是指非初等函數?
初等函數，由基本函數通過有限次有理運算(加減乘除有理數次乘方開方)與各種六大基本函數複合的函數是初等函數。
六大基本函數包括冪，常數，指數，對數，三角，反三角函數。
排除這些之外的都是非初等函數(即你所謂的高等函數)。非初等函數比初等函數還更容易舉例。比如y=(-1)^x，和y=x！，y=2↑↑x，階乘函數和高級運算(運算等級是4級之以上的)函數，以及狄利克雷，黎曼函數，阿克曼函數等等都是非初等函數。隨便構造個大數函數，都是非初等函數。
β函數，γ函數，符號函數，選擇函數，數論中常用的φ（n），這些都不是初等函數。
特殊函數
學數學物理方法或者偏微分方程時經常會碰到特殊函數，下面這本是專門介紹特殊函數的，但是很難看懂。
函數一般分為初等函數和非初等函數。
初等函數由基本初等函數經過有限次的四則運算和複合得到的。
基本初等函數包括：冪函數、指數函數、三角函數、對數函數和反三角函數五類。
非初等函數就是初等函數以外的函數。
你所學過的函數是定義域在實數，值域在實數上的映射，並且一個x值只對應一個y值。
空間本身的拓展
實數域其實是最簡單的一維歐式空間，滿足的限制條件太多了，數學家的想法是從集合出發，給集合中的元素添加限制條件，可以得到不同的空間。
比如只給集合加個度量，也就是距離，那就是度量空間。
區間[0,1]上所有連續函數的全體就構成一個度量空間，距離就是這兩個函數在該區間的差的最大值
d(f,g)=max‖f(x)－g(x)‖,0≤x≤1。
(方便你理解距離的概念，想想一維歐式空間的距離就是 d(x,y)=‖x-y‖ )
記做C[0,1]，注意！這個空間中的點，是一個個函數，比如sinx,cosx等等。你不妨想一下,一個映射f把C[0,1]映到C[0,1]。它把一個連續函數映成了另一個連續函數。
並且這個空間的維數是無窮維，實數域只是一維空間，事實上有限維空間和無窮維空間的性質可以用「天差地別」來形容。
只有了距離，這個空間其實性質很差，一般情況下我們還會給它上面加線性性質和範數，構成線性賦范空間。完備的線性賦范空間就是著名的巴拿赫空間。
還可以再加上角度，因為歐式空間中兩個向量我們算角度，但一般空間中可沒有這樣好的性質，這需要藉助內積的幫助。
當然了，以上只是分析方向的拓展。
從代數角度看，實數域性質也過於優秀，任意兩個元素加法交換，乘法交換，還有分配律，還有逆等等。
從一個集合出發，定義一個到自身的二元運算，讓這個運算滿足結合律，集合里每個單位有逆元，集合有單位元，它就是一個群。比如想想數論中的同餘，比如{0，1，2，3}是一個整數除以4的餘數，只有這四種元素，就構成一個群，叫做模4的剩餘類加群。它的性質就和實數域差別太多太多，比如是有限的，而實數是無限的，想想看，
取一個數除以4的餘數，這種操作不就是一個定義域在整數，值域在模4的剩餘類加群的一個映射嘛。
還有從幾何，拓撲，概率等等方向的拓展。
甚至還有複數域上的輻角函數，一個自變數可以對應多個因變數。
數學的世界是豐富多彩的。。
倒是有種叫高階函數的函數，不過不是數學上的東西（
超越函數是特殊函數，不能算高等函數。三角函數都是初等函數，非常簡單。
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