到底是用實數定義了複數，還是用複數定義了實數？
書中定義：
複數 z＝x＋yi，其中 x、y 為實數。
當 y＝0 時，z＝x＋0i＝x 為實數。
自己的問題為：
到底是用實數定義了複數，還是用複數定義了實數？
是否屬於邏輯學中的循環論證?^
自動化專業渣渣求數學大佬指點。
通常的數學教材處理數系定義順序有兩種方法：
沒有複數定義實數的。即使是第二種看起來也有點奇怪（
如果只用複數的代數運算，是不能定義出實數集R的。就是（C，+，×，0，1）系統中不能定義出R。
見David Mark，Model Theory:an introduction. （模型論引論），國外數學名著系列(影印版) 32，p23, corollary1.3.6
這裡我們假設讀者完全明白有理數是如何定義的。僅使用有理數甚至整數，可以定義代數數，注意到代數數已經涵蓋了一部分無理數和虛數。但是採取這種辦法，能把所有的實數或複數都構造出來嗎？答案是否定的。
我不太喜歡現在強行把數學課分成各個不同課程的做法，特別是因為大學數學並非零門檻的現狀。在分析課上，默認複數的運算是已經學過的，而在代數課上，不討論實數集的具體構造。但是從有理數到複數的過程，實實在在是各種數學思想的融合。
從有理數到實數，必須經歷分析的過程。設 是有理數集的子集，滿足
並且
則由 確定了唯一的實數
使得
接下來，設 則由
確定了唯一的複數
這大概是定義複數的最簡單的方法。也許你已經有所了解，代數基本定理，即任意復多項式都有復根，沒有簡單的代數證法，這也是因為複數本身就很難用代數定義。
首先，先反對一下 @雨雪晴 的答案。
不是說這個結論本身有錯。而是，這個結論論證不了複數域「定義」不了實數。這裡有一處很微妙的地方。簡單來說，定義出來的實數不一定得是複數域的子集。可採取這樣的途徑： 。但這個
已經不是
的子集了，不會引起矛盾。（你也沒辦法直接對應回
的某個子集，雖然你可以用選擇公理強行挑一個出來。「強行挑一個出來」當然超出了域理論的範圍，也是和結論不矛盾的。）又或者說，「定義 xx 的可定義子集 yy」和「可以基於 xx （公理化地）構造 yy」是兩碼事。
接下來是對 @inversioner 答案的補充。如果我們希望有個「完整版」的複數 ，那麼我們至少要包含連續（或小於
）的概念（或讓
）。但是這樣一來就至少隱隱約約地定義了一個
。對於這種情況，我們恐怕只能說是：定義複數的同時順便定義了實數。反過來，實數定義里就不必隱藏著一個複數的定義。從這個意義上講，更多的是實數定義了複數。
最後附上系統 C3（基於 Tarski 實數公理化，由 Norman Megill 正式提出，Eric Schmidt 參與了改進）
5.1.3 Real and complex number postulates restated as axioms?us.metamath.org他們真的喪心病狂地繞了一整圈兒！（ ）
此實數非彼實數，先用實數I定義了複數，再用複數定義了實數II。
先有實數集I ，然後在
中定義複數四則運算，就有了複數集
.
- 複數是滿足複數四則運算的實數有序對
，記作
。
- 複數的加減法：
- 複數的乘法：
- 複數的除法：
然後可以搞一個映射 ，
，於是有了實數集II
，它與
同構。
所以當我們說 時，其實前面那些數集都是由
定義的，都是從另一個不是
子集的數集到
的同構映射的值域。
當y＝0時，z＝x＋0i為實數
很明顯的，這句話的意思是，存在C的子域與R同構
並不是循環論證的意思
實數定義了複數。實數自己，是從有理數定義出來的。之所以說虛部為零時相當於實數，是說可以把實數作為複數的子集，從而包含到更廣範圍的複數域中，那麼你之前用的實數就都可以當成複數。複數域是實數域的擴域。
我想對這個問題換一種提法。已知一個域F同構於C，如何知道它的同構於R的子域的構造？即它由F中哪些元素構成？
從歷史和實踐的角度講，實數定義了複數
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