你見過什麼複雜到讓你目瞪口呆的公式?
我們平時使用的透鏡大多都是球面的,往往會存在球差。球差本身不難校正,但材料又同時存在色散,所以要在寬波段內同時校正球差和色差,往往需要多片不同光學材料的鏡片組合使用。
但理論上來說,針對某種具體的材料,可以通過面型的設計,是可以實現單片透鏡寬波段消除色球差的目的,但從來沒人這樣做過。來自墨西哥的Rafael González推導了相關公式,表示如果面型按以下公式設計,即可以實現該目的:
看得我目瞪口呆……但還是要多說一句,其實光學設計中最難的並不是把面型、間距等幾何參數計算出來,而是要綜合考慮公差分配、體積、重量、成本等眾多複雜因素,這是一個典型的戴著一堆鐐銬跳舞的過程。所以這個面型公式,對現實設計光學系統的意義並不大……
而且要精確的實現這類複雜面型的加工,是一件極其困難的事情。與其死磕這種技術,還不如轉頭去做metalens呢,天然無球差,色差也分分鐘解決,而且重量更輕、厚度極薄,不香嗎?
不過雖然確實用處不大,但很佩服這位同學的數學能力和死磕的毅力!……我要向他學習!
一元四次方程求根公式,一個從原理上看非常簡單的公式
對於一般一元四次方程
……(1)
( , )
由代數學基本定理,它必然在複數域上有根,而且只有4個根(包括重根)
我們總可以將所有係數除以 ,化成一個首一四次多項式
即
……(2)
( )
進一步,我們可以通過配方的辦法,作代換 ,以消去原方程的三次項,將之化成如下形式:
……(3)
( )
其中
現在我們引入參數 ,有:
……(4)
將(4)代入(3),可得
……(5)
我們可以選擇 ,使得右邊那個關於 的二次多項式有重根,從而能配成 與一個完全平方式的乘積的形式
那麼需要其判別式
……(6)
這是一個關於 的一元三次方程,可以將其整理為:
……(7)
接下來可以使用代換
將之化為:
……(8)
其中
我們知道,一元三次方程(8)的三個根分別為:
取其中一個解即可,比如取
則
此時
所以方程(5)變成了
……(9)
所以
……(10)
對於方程
其兩個根為
對於方程
其兩個根為
即方程(3)的四個根
其中
如果要求方程(1)的根,那就更麻煩了,它的4個根是
其中
如果你把這些變數都代入,會形成一個看起來非常複雜的公式……
儘管從原理上講,這個公式都沒有超出初等數學的範疇
不止見過,我推過一個。。。是當年玩釣魚閑的蛋疼,試圖計算甩竿距離而列的式子
【摘要:如何把餌扔遠】
餌扔的遠近有四個要素:
1.初始速度(v)
2.線的阻力(f_l)
3.空氣阻力(f_a)
4.初始角度(a)
跟炮彈彈道有點兒像,只是增加了線的拉著的阻力、線的重量、線的摩擦力等因素。
【細節】
1.初始速度由兩個速度疊加
1.1彈性線速度(v1)
也就是在往後引桿往前拋出的時候,餌的拉力所造成的桿的形變所儲存的彈性勢能(PE)。
在桿的行程的後半段轉化為特定質量(m)的餌的動能(KE)對應的餌的速度(v1):
v1 = sqrt ( 2 * KE / m) = sqrt ( 2 * PE / m)
使用民科模型把彈性勢能簡單化為由彈性係數(k)和形變數(Y)決定:
PE = 0.5 k Y^2
k是杆子的固有屬性,Y由甩桿動作餌的重量桿的軟硬等多個因素決定,還沒有推倒出個Y的公式來。
總之彈性線速度:
v1= Y * sqrt ( k / m )
如果餌太輕桿太硬,餌跟著桿走,k/m足夠大,但形變Y太小。
如果餌太重桿太軟,形變Y足夠大,但k/m太小。
要想獲得大的v1,桿的硬度和餌的重量得匹配。
怎麼叫匹配?桿上標著呢,取個上下閾值的中間值左右總沒錯。
1.2基本線速度(v2)
也就是甩桿角速度(w)在桿的長度(R)的盡頭體現出來的線速度,這個簡單:
v2 = w * R
要想獲得大的v2,桿要長,甩的要猛。
(1.3)能量
通過兩個速度餌獲得了初始動能KE_i:
KE_i = 0.5 * m * ( v1 + v2 ) ^ 2
初始動能會被下文的兩個阻力消耗掉兩部分(FE1,FE2)。
2.線的阻力f_l有三部分
2.1.彈性勢能阻力f1
也就是把線從纏繞狀態變為伸展狀態所需要克服的彈性勢能(PE2),在民科模型里還是:
PE2 = 0.5 k2 L^2
FE1 = PE2
L是拋出的線的長度,彈性係數k2是線的固有屬性。
要想減小阻力f1減小阻力能量損失FE1,就得減小k2因為你不想減小L,就得用更細的線,就得用更軟的線。
2.2.摩擦阻力f2
也就是線從輪上(注意到這裡才第一次提到輪)出倉的時候的摩擦阻力(f2)。
以spinning為例這部分可能包括,線摩擦輪的外沿的阻力,線繞的不好導致出線時線之間的阻力,等等。
這部分消耗的能量:
FE2 = f2 * L
f2實際上是個函數而不是常量,比如說出線點在線倉里越深,也就是余線越少,摩擦f2就越大。
要想減小阻力f2減小阻力能量損失FE2,就得減小f2因為你不想減小L。
比如說,輪外沿被石頭碰的坑坑窪窪的話要打磨平了(或是換新輪,嘿嘿),線倉要相對比較滿。
2.3.「重量阻力」FE3
也就是已經出倉的線必須跟著餌走所需要的線本身的動能(KE2):
KE2 = 0.5 * m2 * v ^ 2
其中質量取決於線的線密度p和出線長度L:
m2 = p * L
速度
v = v1 + v2
而
FE3 = KE2
這部分實際上不是「阻力」,只是因為完全是線引起的且效果像阻力所以歸在這裡面。
要想減小FE2,就得用更輕的線(通常也是更細的線)。
3.空氣阻力f_a
這個有兩部分,餌的空氣阻力和線的空氣阻力。
這個簡單,要想減少這部分,餌的迎風面積要小,線要細。
比如說其他條件相同的情況下扔個鉛墜和同等重量的大crankbait,這個就是主要區別了。
4.初始角度a
這個理論上複雜實踐起來簡單,理論上取決於以上所有因素在某個值a_max把D最大化。
實踐起來,憑手感就行了。
【結論】
要想扔的遠(按重要程度排序):
1.餌的重量和桿的軟硬要合適搭配
2.在保證可以支撐引桿拉力的情況下用軟線細線輕線
3.用長的桿
4.用有接近滿倉線的滑溜的輪
5.多加練習達到最佳角度和釋放時機
6.增加力量
(以上純屬娛樂,切勿當真)
甩竿場景大概是這個感覺:
有知友評論釣魚的事兒,我繼續閑的蛋疼一下,以前釣魚經常記錄和統計其種類和時間分布,比如:
貼幾張釣的魚的照片:
方程 的解長這樣...
(照著手機里的圖碼公式時候突然手抖一下,亂套了= =只能藉助Axmath的自動轉換功能)
別看了,它確實是對的
在我收藏的帖子中翻了n分鐘找到了那篇文獻(雖然我沒看過),密碼:jykn
http://pan.baidu.com/s/1gfxevPD?pan.baidu.com順便一提,這篇文獻解決的是類似於 的方程,在開始的方程中令 就化成了 ,再按文獻中的方法解就ok了
我點開了醬紫君的主頁,把它所有的回答都看了下,送了n個贊。翻到最後一頁的時候才意識到這是篇文章...
醬紫君:x = cos x 的解析形式?zhuanlan.zhihu.com
那文獻也不是特別長,貼出來算了,方便不用度盤的朋友看
前面有回答給出了粒子物理標準模型的拉氏量,那個的確複雜,畢竟描述的是人類已知的所有微觀原理。然而,這種複雜性不是整體的複雜性,把它拆解後每一項拿出來都有自己的意義,都能獨立拿來算東西。我上本科時候是做rogue wave的理論研究的,經常會遇到非線性波動方程的有理數解。我覺得這個東西更讓我目瞪口呆,因為它一大長串式子是一個整體,一堆看上去雜亂無章的東西共同構成了方程的一個解。比如這個NLS方程的七階rogue wave解,描述了七個基本的rogue wave分量無相移地相互作用的過程(來自Journal of Modern Physics, 2013, 4, 246-266):
這一大長串公式說到底就是rogue wave的波形隨距離演化的一個二元函數,函數圖像如下:
這還只是無相移的解。現實中的波之間的相互作用都是有相移的,如果考慮到相移的話,七階解可以引入十幾個相移因子,這樣一來恐怕一百頁都寫不完一個解。另外,上面這個解是最簡單的非線性波動方程NLS方程的,如果考慮更複雜的波動方程,解的長度還會大大增長。
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