我們平時使用的透鏡大多都是球面的,往往會存在球差。球差本身不難校正,但材料又同時存在色散,所以要在寬波段內同時校正球差和色差,往往需要多片不同光學材料的鏡片組合使用。

但理論上來說,針對某種具體的材料,可以通過面型的設計,是可以實現單片透鏡寬波段消除色球差的目的,但從來沒人這樣做過。來自墨西哥的Rafael González推導了相關公式,表示如果面型按以下公式設計,即可以實現該目的:

看得我目瞪口呆……但還是要多說一句,其實光學設計中最難的並不是把面型、間距等幾何參數計算出來,而是要綜合考慮公差分配、體積、重量、成本等眾多複雜因素,這是一個典型的戴著一堆鐐銬跳舞的過程。所以這個面型公式,對現實設計光學系統的意義並不大……

而且要精確的實現這類複雜面型的加工,是一件極其困難的事情。與其死磕這種技術,還不如轉頭去做metalens呢,天然無球差,色差也分分鐘解決,而且重量更輕、厚度極薄,不香嗎?

不過雖然確實用處不大,但很佩服這位同學的數學能力和死磕的毅力!……我要向他學習!


一元四次方程求根公式,一個從原理上看非常簡單的公式

對於一般一元四次方程

[公式] ……(1)

[公式][公式]

由代數學基本定理,它必然在複數域上有根,而且只有4個根(包括重根)

我們總可以將所有係數除以 [公式] ,化成一個首一四次多項式

[公式]

[公式] ……(2)

[公式]

進一步,我們可以通過配方的辦法,作代換 [公式] ,以消去原方程的三次項,將之化成如下形式:

[公式] ……(3)

[公式]

其中

[公式]

[公式]

[公式]

現在我們引入參數 [公式] ,有:

[公式] ……(4)

將(4)代入(3),可得

[公式]

……(5)

我們可以選擇 [公式] ,使得右邊那個關於 [公式] 的二次多項式有重根,從而能配成 [公式] 與一個完全平方式的乘積的形式

那麼需要其判別式

[公式] ……(6)

這是一個關於 [公式] 的一元三次方程,可以將其整理為:

[公式] ……(7)

接下來可以使用代換 [公式]

將之化為:

[公式] ……(8)

其中

[公式]

[公式]

我們知道,一元三次方程(8)的三個根分別為:

[公式]

[公式]

[公式]

取其中一個解即可,比如取

[公式]

[公式]

此時

[公式]

所以方程(5)變成了

[公式] ……(9)

所以

[公式] ……(10)

對於方程

[公式]

其兩個根為

[公式]

[公式]

對於方程

[公式]

其兩個根為

[公式]

[公式]

[公式] 即方程(3)的四個根

其中

[公式]

[公式]

[公式]

如果要求方程(1)的根,那就更麻煩了,它的4個根是

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

其中

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

[公式]

如果你把這些變數都代入,會形成一個看起來非常複雜的公式……

儘管從原理上講,這個公式都沒有超出初等數學的範疇


不止見過,我推過一個。。。是當年玩釣魚閑的蛋疼,試圖計算甩竿距離而列的式子

【摘要:如何把餌扔遠】

餌扔的遠近有四個要素:

1.初始速度(v)

2.線的阻力(f_l)

3.空氣阻力(f_a)

4.初始角度(a)

跟炮彈彈道有點兒像,只是增加了線的拉著的阻力、線的重量、線的摩擦力等因素。

【細節】

1.初始速度由兩個速度疊加

1.1彈性線速度(v1)

也就是在往後引桿往前拋出的時候,餌的拉力所造成的桿的形變所儲存的彈性勢能(PE)。

在桿的行程的後半段轉化為特定質量(m)的餌的動能(KE)對應的餌的速度(v1):

v1 = sqrt ( 2 * KE / m) = sqrt ( 2 * PE / m)

使用民科模型把彈性勢能簡單化為由彈性係數(k)和形變數(Y)決定:

PE = 0.5 k Y^2

k是杆子的固有屬性,Y由甩桿動作餌的重量桿的軟硬等多個因素決定,還沒有推倒出個Y的公式來。

總之彈性線速度:

v1= Y * sqrt ( k / m )

如果餌太輕桿太硬,餌跟著桿走,k/m足夠大,但形變Y太小。

如果餌太重桿太軟,形變Y足夠大,但k/m太小。

要想獲得大的v1,桿的硬度和餌的重量得匹配。

怎麼叫匹配?桿上標著呢,取個上下閾值的中間值左右總沒錯。

1.2基本線速度(v2)

也就是甩桿角速度(w)在桿的長度(R)的盡頭體現出來的線速度,這個簡單:

v2 = w * R

要想獲得大的v2,桿要長,甩的要猛。

(1.3)能量

通過兩個速度餌獲得了初始動能KE_i:

KE_i = 0.5 * m * ( v1 + v2 ) ^ 2

初始動能會被下文的兩個阻力消耗掉兩部分(FE1,FE2)。

2.線的阻力f_l有三部分

2.1.彈性勢能阻力f1

也就是把線從纏繞狀態變為伸展狀態所需要克服的彈性勢能(PE2),在民科模型里還是:

PE2 = 0.5 k2 L^2

FE1 = PE2

L是拋出的線的長度,彈性係數k2是線的固有屬性。

要想減小阻力f1減小阻力能量損失FE1,就得減小k2因為你不想減小L,就得用更細的線,就得用更軟的線。

2.2.摩擦阻力f2

也就是線從輪上(注意到這裡才第一次提到輪)出倉的時候的摩擦阻力(f2)。

以spinning為例這部分可能包括,線摩擦輪的外沿的阻力,線繞的不好導致出線時線之間的阻力,等等。

這部分消耗的能量:

FE2 = f2 * L

f2實際上是個函數而不是常量,比如說出線點在線倉里越深,也就是余線越少,摩擦f2就越大。

要想減小阻力f2減小阻力能量損失FE2,就得減小f2因為你不想減小L。

比如說,輪外沿被石頭碰的坑坑窪窪的話要打磨平了(或是換新輪,嘿嘿),線倉要相對比較滿。

2.3.「重量阻力」FE3

也就是已經出倉的線必須跟著餌走所需要的線本身的動能(KE2):

KE2 = 0.5 * m2 * v ^ 2

其中質量取決於線的線密度p和出線長度L:

m2 = p * L

速度

v = v1 + v2

FE3 = KE2

這部分實際上不是「阻力」,只是因為完全是線引起的且效果像阻力所以歸在這裡面。

要想減小FE2,就得用更輕的線(通常也是更細的線)。

3.空氣阻力f_a

這個有兩部分,餌的空氣阻力和線的空氣阻力。

這個簡單,要想減少這部分,餌的迎風面積要小,線要細。

比如說其他條件相同的情況下扔個鉛墜和同等重量的大crankbait,這個就是主要區別了。

4.初始角度a

這個理論上複雜實踐起來簡單,理論上取決於以上所有因素在某個值a_max把D最大化。

實踐起來,憑手感就行了。

【結論】

要想扔的遠(按重要程度排序):

1.餌的重量和桿的軟硬要合適搭配

2.在保證可以支撐引桿拉力的情況下用軟線細線輕線

3.用長的桿

4.用有接近滿倉線的滑溜的輪

5.多加練習達到最佳角度和釋放時機

6.增加力量

(以上純屬娛樂,切勿當真

甩竿場景大概是這個感覺:


有知友評論釣魚的事兒,我繼續閑的蛋疼一下,以前釣魚經常記錄和統計其種類和時間分布,比如:


貼幾張釣的魚的照片:


方程 [公式] 的解長這樣...

(照著手機里的圖碼公式時候突然手抖一下,亂套了= =只能藉助Axmath的自動轉換功能)

[公式]

別看了,它確實是對的


在我收藏的帖子中翻了n分鐘找到了那篇文獻(雖然我沒看過),密碼:jykn

http://pan.baidu.com/s/1gfxevPD?

pan.baidu.com

順便一提,這篇文獻解決的是類似於 [公式] 的方程,在開始的方程中令 [公式] 就化成了 [公式] ,再按文獻中的方法解就ok了


我點開了醬紫君的主頁,把它所有的回答都看了下,送了n個贊。翻到最後一頁的時候才意識到這是篇文章...

[公式]

醬紫君:x = cos x 的解析形式?

zhuanlan.zhihu.com圖標

那文獻也不是特別長,貼出來算了,方便不用度盤的朋友看


前面有回答給出了粒子物理標準模型的拉氏量,那個的確複雜,畢竟描述的是人類已知的所有微觀原理。然而,這種複雜性不是整體的複雜性,把它拆解後每一項拿出來都有自己的意義,都能獨立拿來算東西。我上本科時候是做rogue wave的理論研究的,經常會遇到非線性波動方程的有理數解。我覺得這個東西更讓我目瞪口呆,因為它一大長串式子是一個整體,一堆看上去雜亂無章的東西共同構成了方程的一個解。比如這個NLS方程的七階rogue wave解,描述了七個基本的rogue wave分量無相移地相互作用的過程(來自Journal of Modern Physics, 2013, 4, 246-266):

這一大長串公式說到底就是rogue wave的波形隨距離演化的一個二元函數,函數圖像如下:

這還只是無相移的解。現實中的波之間的相互作用都是有相移的,如果考慮到相移的話,七階解可以引入十幾個相移因子,這樣一來恐怕一百頁都寫不完一個解。另外,上面這個解是最簡單的非線性波動方程NLS方程的,如果考慮更複雜的波動方程,解的長度還會大大增長。


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