設 數列 和 收斂於相同的極限並求該極限.

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真要說起來，這個問題的歷史其實相當古老，可以追溯到2000多年前古希臘的阿基米德

我給出幾種做法

為了方便起見，我把題目形式稍加變化一下，變成：

數列 、 ，滿足 ， ， ， .

求數列 、 的通項公式.

（ ）

也就是相當於把你的原題進行倒代換，別的完全不影響

為什麼這麼變？因為這樣方便揭示其幾何意義

好了，先說這題解法：

方法（一）

注意到三角恆等式

，

令 ，

顯然 ，

由於

由數學歸納法

（ ）

注意此處隨著不同的初值 , ，三角換元的過程是可能出現複數的，不去管它.

實在不想看到複數，某些初值下可以改使用雙曲換元.

這個方法是最直接快捷的，但是那兩個三角恆等式不屬於最常見的，應該不是每個人都能想到.

方法（二）

，

由此兩式消去 , 可得

得

令

則有

，

令

由數學歸納法， （ ）

（ ）

其中

即

注意此處隨著不同的初值 , ，三角換元的過程是可能出現複數的，不去管它.

否則的話，也可以採取這樣的換元：

令

則數學歸納法， （ ）

它實際上和雙曲餘弦換元是等價的

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顯然，數列

， （ ）

當 時是有著共同極限的，這個共同極限是

（對於你的原題的話，就是取

然後共同極限是 ）

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而如果這麼取值：當 ， 時，這個共同極限便是

這就是當年阿基米德計算圓周率時採用的割圓術

其中

這恰好是圓的內接正邊形的周長與圓直徑的比值

而

這是圓的外切正邊形的周長與圓直徑的比值

此時顯然有

構成了一個非常典型的閉區間套，並且所有區間端點都是代數數，最後卻構造出了一個超越數

我們令 為圓的外切正 邊形的邊長與直徑的比值（半邊長與半徑的比值）

令 為圓的內接正 邊形的邊長與直徑的比值（半邊長與半徑的比值）

那麼很顯然

，

為了簡單起見，不如令半徑為1

圖中

過點 作圓切線交 於點 ，交 於點

那麼

（因為 且 ）

由幾何關係

（相似三角形）

即

顯然有

（勾股定理）

即

這就從幾何意義上解釋了這個數列

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來了來了，答主在線pvp

雖然高斯的Arithmetic-Geometric Mean很有名但是也不用強行改問題吧。

不妨設 . 我們設 ，由遞推式，我們有

這是明顯的二倍角公式。因此如果我們令 即 ，則有 . 此時帶入 的遞推式，我們有

因此連乘可以得到 . 令n趨於無窮大，眾所周知， （證明利用 即可），因此

. 類似地， 的通項公式和極限也可以求出來，答案是相同的.

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這個數列有時被稱為Schwab數列，因為J.Schwab在1813年研究過它。這個數列和高斯的算術幾何平均數列有異曲同工之妙，構造簡單，並可以速度極快地逼近一些超越函數。

為了方便，如題主所說，記 設 關於數列的收斂性，先說結論：

Schwab數列 滿足 記 則 收斂速度是指數級的：

現在給出證明。首先易見

即 不等式

由歸納法可知，不等式 成立。

可見， 單調增有上界， 單調減有下界，所以它們都收斂。在遞推式中令 知，它們的極限相等。也可以從上面的不等式(*)得到 由此也可見兩個數列收斂於共同的值，而且是指數收斂的。

記這個共同的極限為 易見它有齊次性：

所以，不妨先考慮 的情形。應用等式 由歸納法容易知道

用 乘上式，整理得 所以

應用齊次性推出 其中 滿足 證畢。

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注1 用同樣的方法可以推出，如果 則 其中 滿足

注2 取 則有 換言之， 這可以迅速地逼近圓周率。

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來源：菲赫金哥爾茨 著 微積分學教程(第一卷)(第8版)

註：題主所說的an+1實際上不等式只有加強，結果不變。

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我怎麼總感覺你的題出錯了呢

我總覺得Bn+1等於根號anbn

不會做，給你提供一個思路吧

如果按我說的那樣更改題目，會十分完美

抱歉然後不會了

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這不是一個簡單的問題，可以去了解高斯積分再嘗試解答

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.

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