學數論有必要提前系統學拓撲學嗎？還是學到再補？
討論範圍包括解析數論，代數數論，初等數論，點集拓撲，代數拓撲。個人認為拓撲不同於抽象代數或者各種分析，我認為做到不會的再補也許更好。
我對數論了解得有限，只能做一個片面的回答。
假如你想了解各種 zeta functions, 那麼你可能需要讀 Weil conjectures 及其證明。於是你需要掌握 etale cohomology. 一般而言，cohomology 是一個很深刻的想法，而代數拓撲中的cohomology是相對淺顯的一種情況。所以學代數拓撲至少是有幫助的。（如果能讀懂 constant sheaf cohomology 和singular cohomology 的等價性就更好，可惜這樣講的代數拓撲教材並不多。）
至於是否必要，我就不清楚了。我也很想知道不懂代數拓撲而直接讀etale cohomology 是什麼體驗。
本科生強答一波，因為水平差一些所以說的說不定更接地氣。
學代數數論，肯定會涉及交換代數，這樣zariski拓撲就來了，至於p-adic賦值，賦值環環之類，然後也會涉及拓撲群、李群，這個時候代拓、微分幾何、分析差一個都不行。
數論本來就是一個筐，裡面啥都裝。
而另一方面，不說別的，學代數數論的話同調代數跑不掉吧，鏈同倫、長正和序列、導出函子、譜序列都是可以通過代數拓撲上的技術來幫助理解的。
如果不考慮幾何上的意義，只是技術上地使用同調代數，至少對我而言是很痛苦的，在學代拓之前涉及到同調代數的東西見一個查一次書，學代拓之後遇到簡單常見的，抬筆直接往紙上撂交換圖。
總而言之，會的越多越好，不只是拓撲，黎曼幾何都會有用……
我覺得會有用的基礎知識列一下（背名詞）
伽羅瓦理論，群表示論，同調代數，交換代數，類域論，黎曼面，代數曲線，代數幾何，代拓，李群，微分幾何，實分析，複分析。
這些都可以算基礎知識，當然本科生很難全學一遍，但至少如果在數論學習里遇到了，盡量別想著逃避才是正常的心態。
覺得A的研究一定可以避開B的方法這種心態已經圖樣圖森破了。
至於提前學還是遇到再學，我是建議提前學的，但事實上問題都不大吧。
這樣的問題過於寬泛了：數論的什麼分支？代數數論里的什麼問題？解析數論里的什麼問題？需要哪些拓撲學？需要懂多少細節？
如果你有具體的問題作為 motivation, 這個疑問自己就解決了。否則你可能只會聽到千篇一律的回答，如「你需要點集拓撲 / 代數拓撲的基本常識」。(沒有任何幫助)
譬如你想了解 Tate thesis, 常規的途徑是你可能看到 Riemann zeta function 的解析開拓以及函數方程（本科複分析），然後聽說這個東西 Tate 用 Fourier 分析把它做到了數域上。那自然會先去大致了解：locally compact space，Harr measure，Fourier transform. (實分析中的 是一個很好的例子。) 然後學習 adele and idele 的定義, 其中會用到 restricted direct product, 構造出來
是個 locally compact space. 但是這裡用到多少拓撲呢？可以說只要你上過一學期點集拓撲，有點印象就可以，而不是把抽象證明都背下來。
如果你想學一些 adic space，你會去了解什麼是 valuation spectrum, valuation topology. 最好的做法是你之前已經知道一些基本例子如 ,
. 而這些例子並不需要太多拓撲學（除了一些常識）。
直接去考慮具體的數論問題，親自動手去算，才會發現需要學什麼。
有
拓撲這樣基礎的東西無論從事哪個方向的數學研究都必須掌握，不光是點集拓撲，一些拓撲流形的知識，同調理論和基本群都要弄清楚才行。數論這樣的「應用數學」感覺上沒有什麼東西是學了沒用的，pde這樣看起來和數論風格完全不搭的東西也不見得可以完全放棄。我一個做數論的同學，分析代數幾何樣樣精通，代數幾何學的比很多做雙有理的人還深刻，複流形和moduli都能上手
如果拓撲都放棄了，你怎麼理解p adic number呢？你怎麼算無限Galois擴張呢？算術幾何你也碰不了
而且你現在應該是本科生，不要把自己的方向限制那麼死，數論的確很優美很熱門，但也相當困難，打基礎的階段當然是廣泛的學習各種知識，我就走了些彎路，本科不重視分析，現在算個pde痛苦的要死
學的時候可以多了解，對數論有興趣可以早點開始讀書，《primes of the form x^2+ny^2》就不錯。數論挺適合直接上手學東西，遇到不會的知識再去補的，當然你會發現你要補充的知識幾乎遍及所有數學
如果是做研究的話，很有必要。如果只是學著玩玩，初等數論不需要拓撲知識。
想做好數學就必須什麼都會，想逃避是很愚蠢的，何況是這麼基礎的內容
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