如果不用複數，數學和物理問題要複雜多少？

學電學和量子力學一直把復指數函數理解成「三角函數」。所以始終不理解為什麼要擴充數域。
如果不用複數，完全用實數，波用三角函數描述，也沒感覺會變複雜。
那麼到底為什麼一定要定義複數呢？如果不用，那麼哪些問題會變複雜很多呢？
註：純數學概念的定義，不影響物理問題演繹的結果。希望回答的人能理解這一點。
從完備性的角度講，皮亞諾公理體系的強度足以作為物理系統的數學工具。

PS：
請請明白」自然科學「和」形式科學「區別的回答者回答。
簡單的說，選擇什麼數學定義，並不影響使用數學計算物理體系得到的結果。

不會複雜多少，因為任何一個複數都和一個實矩陣等價

至於對物理的影響，請問量子力學裡用不用矩陣？泡利矩陣、狄拉克矩陣是什麼玩意兒？

但是，如果有可能，我還是希望加一個i而不是矩陣，畢竟少些很多字不是。

公理集合論就是整個數學的基礎，在此之上可以定義整數，整數定義分數，分數通過戴德金分割或其他等價方式定義實數，實數擴充到複數。如果從還原論的角度說，只需要集合論，甚至連整數的概念都可以不需要。這就說明人們擴充數系不會是因為本質性的原因，而僅僅是因為方便。每擴充一次數系就會有全新的結論，而這些結論能使我們更簡潔地組織、表達我們的思想。
物理上用到複數，也是和複數、複變函數的優秀性質有關，例如全純函數的解析性、代數基本定理等。如果不用複數，這些概念往往表達起來非常繁瑣。例如：

2.1 在2維物理中往往用複數表達坐標，這樣可以利用全純函數的各種性質，更容易表達體系的對稱性。典型的如共形場論中的共形變換。

2.2 很多對稱性的不可約表示必須用到複數，而如果使用實數的話就只能得到（複數域下的）可約表示。這當然和代數基本定理有關。例如SO(2)群的複數表示是1維的，但實數表示至少是2維的。顯然一個數要比一個矩陣簡潔得多。在更複雜的群中複數的作用就更明顯，例如相對論中的洛倫茲變換SO(3,1)。它的旋量表示就必須用到複數。

2.3 很多時候即使研究的是實變函數的性質，也常常擴充到複數域去研究，因為複變函數可以做解析延拓。例如散射振幅關於粒子能量的函數，常常將能量延拓到複數，通過極點和留數反推散射振幅。在研究量子場論的實時間演化時，常常將時間延拓到複平面，因為實時的關聯函數並不是函數（而是所謂tempered distribution），而虛時上的關聯函數往往是真正的函數。

楊振寧先生寫過一篇文章講述複數的意義

Square root of minus one, complex phases and Erwin Schr?dinger. CHEN NING YANG

http://www.god-does-not-play-dice.net/Yang.pdf

狄拉克也說過:「問題在於，不對易性是否真是量子力學新概念的主體?我過去一直認為答案是肯定的，但最近我開始懷疑這一點。我想，從物理觀點來說，不對易性可能並非唯一重要的觀念，或許還存在某些更深層的觀念，而某些通常的概念在量子力學中或許還需要做一些更深刻的改變。所以，如果有人問，量子力學的主要特徵是什麼?現在我傾向於說，量子力學的主要特徵並不是不對易代數，而是機率幅的存在。機率幅是全部原子過程的基礎。機率幅是與實驗相聯繫的，但這只是問題的一部分。機率幅的模平方是我們能觀測的某種量，即實驗者所測量到的機率，但除此之外還有相位。這個相位是極其重要的，因為它是所有干涉現象的根源，而其物理含意是極其隱晦難解的。相位這個物理量很巧妙地隱藏在大自然中。正是由於它隱藏地如此巧妙，人們才未能更早建立起量子力學。」

復結構沒那麼簡單

https://www.zhihu.com/question/21188040/answer/131174426

不用複數有些題幾乎無解，做一下這題。

圖中所有相互接觸的圓都是相切，中間的橫線經過與它相交的三個圓的圓心和三個切點，證明所有藍色的點共圓。

數的本質是關係，對應事物之間的關係及關係之間的關係。

複數的本質是事物中存在的一類特殊的二元全態關係（a,b）：

對於（a1,b1），（a2,b2），（a3,b3）滿足以下二元乘法關係。所以複數的本質亦是實數乘法的特殊二元擴展。

同樣的，四元數的本質是一類特殊的四元全態關係(a,b,c,d)。

矩陣的本質是定義了矩陣二維乘法的二維數組（自然地，你也可以定義不同的矩陣乘法得到不同的二維陣，只是目前的矩陣乘法的定義表現良好因此被普遍認同）。

複數和矩陣都可以看成是實數乘法關係的多維擴展。複數和矩陣結合能表示更多複雜的代數結構。比如八元數結構用實矩陣是表示不出來的。

複數從形式上是一種簡潔的表示方式（相對實數對，或二階實矩陣/復結構），簡潔意味著更能一目了然地揭示更本質上的關係。

舉個例子：複數與2×2矩陣結合表示的二階復矩陣M

在物理還是工程都是有廣泛的應用，它有什麼神奇之處呢？？

首先它是2×2×2實立方陣（同樣可以有定義良好的立方陣線性乘法）的二維化表示/展開。由於我們的紙張是二維的，且關於矩陣的理論研究更透徹，所以複數與2×2矩陣結合表示的二階復矩陣M表示自然要比2×2×2實立方陣更直觀簡潔，做計算也更方便。它也可以寫成彭羅斯扭量

其次它的8個基如下

後面三個基便為泡利矩陣，然後呢？

事實上令分別對應以上的基元可以得到：

它和以下的1+3實維的八元超複數

同構！

二階復矩陣M可以表示成1+3實維的八元超複數W4的形式，原本很多意義不明的東西便變得清晰起來，比如它正好對應1個時間維度+3個空間維度+四-速度。三個虛單元構成三維歐式空間，並與時間維元一起構成完備的3+1維時空（狹義相對論的3+1維閔氏時空並非完備）,相元（泡利矩陣）構成的三維相空間即可刻畫宏觀的速度也對應微觀的量子力學的相位。